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最も重要な科学的発見
フェルマーの最終定理。 科学的発見の歴史と本質
ピエール ド フェルマーの死亡記事の XNUMX つは、次のように述べています。彼について言わなければならないこと. 私たちの賛辞で何も見逃さないように言う.」 残念ながら、偉大な科学者の生涯についてはあまり知られていません。 ピエールファーム 彼（1601 年 - 1665 年）は、南フランスの小さな町ボーモン・ド・ロマーニュで生まれました。そこでは、父親のドミニク・フェルマーが「第二執政官」、つまり市長の補佐を務めていました。 ドミニク・フェルマーは息子にしっかりとした教育を施しました。 生まれ故郷の大学で、ピエールはラテン語、ギリシャ語、スペイン語、イタリア語などの言語について十分な知識を身につけました。 その後、ラテン語、フランス語、スペイン語で詩を書きました。 フェルマーは古代の優れた愛好家として有名で、ギリシャの古典の版の難しい一節について相談を受けました。 しかし、ピエールは彼の天才のすべての力を数学的研究に向けました。 しかし、数学は彼の職業にはなりませんでした。 彼の時代の科学者は、愛する科学に完全に専念する機会がありませんでした。 農場は法学を選択します。 オルレアンで学士号を授与されました。 1630 年以降、フェルマーはトゥールーズに移り、そこで議会 (つまり、裁判所) の顧問としての地位を得ました。 彼の法的活動については、「非常に誠実で、当時の最高の弁護士の XNUMX 人として有名だったほどの技術をもって」それを行ったことが「称賛に値する言葉」であると言われています。 フェルマーの存命中、彼の数学的業績は主に他の科学者との広範な通信を通じて知られるようになりました。 彼が繰り返し書き込もうとした収集された作品は、決して彼によって作成されたものではありません。 はい、彼が実行しなければならなかった法廷での大変な仕事を考えると、これは驚くべきことではありません。 彼の著作は生前に出版されることはありませんでしたが、彼はいくつかの論文を完全に完成させ、それらは写本として同時代の学者のほとんどに知られるようになりました。 これらの論文に加えて、彼の広範で非常に興味深い通信が残っていました。 特別な科学雑誌がなかった XNUMX 世紀には、科学者間の通信が特別な役割を果たしました。 課題を設定し、それらを解決する方法を報告し、深刻な科学的問題について議論しました。 フェルマーの特派員は、彼の時代の最も偉大な科学者でした: デカルト、エティエンヌ・パスカル、 ブレイズパスカル、de Beesi、 ホイヘンス、トリチェリ、ヴァリス。 手紙は特派員に直接送られるか、パリのアベ・メルセンヌ（大学でデカルトの仲間の学生）に送られました。 後者はそれらを乗算し、同様の問題を扱った数学者に送りました。 フェルマーの最初の数学的作品の XNUMX つは、失われたアポロニウスの XNUMX 冊の本「平らな場所について」の復元でした。 科学に対するフェルマーの偉大な功績は、通常、彼が解析幾何学に極小量を導入したことで見られます。 ケプラー 古代人の幾何学について。 彼は、最大量と最小量に関する 1629 年の研究でこの重要な一歩を踏み出しました。この研究は、フェルマーの最も重要な一連の研究の XNUMX つを開いたものであり、高次分析一般の発展の歴史における最大のリンクの XNUMX つです。特に微小の分析も。 1636 年代の終わりに、フェルマーは極値と接線を見つける方法を発見しました。これは、現代の観点から導関数を見つけることになります.XNUMX 年に、方法の完成したプレゼンテーションがメルセンヌに転送され、誰もが得ることができました。彼と知り合い。 フェルマーの前に、イタリアの科学者カバリエリは、面積を計算するための体系的な方法を開発しました。 しかし、すでに 1642 年に、フェルマーは任意の「放物線」と任意の「双曲線」に囲まれた面積を計算する方法を発見し、無限の図形の面積が有限であることを示しました。 フェルマーは、曲線をまっすぐにする問題、つまり弧の長さを計算する問題に最初に取り組んだ人物の XNUMX 人でした。 彼はこの問題をいくつかの領域の計算に減らすことに成功しました。 このように、フェルマーの「面積」の概念は非常に抽象的な性質を獲得しました。 曲線をまっすぐにする問題は、面積の決定に還元されました。彼は、置換の助けを借りて複雑な面積の計算をより単純な面積の計算に減らしました。 この領域から、さらに抽象的な概念である「積分」へと進むには、あと一歩しかありませんでした。 フェルマーには他にも多くの業績があります。 彼は最初に座標のアイデアを思いつき、解析幾何学を作成しました。 彼は確率論の問題も扱った。 しかし、フェルマーは数学だけにとどまらず、物理学も学び、媒質中の光の伝搬の法則を発見しました。 証拠が不足しているにもかかわらず (そのうち XNUMX つだけが生き残っている)、数論の分野におけるフェルマーの研究の重要性を過大評価することは困難です。 彼はただ一人、整数の性質を研究する際に研究者に即座に現れる混沌とした問題や特定の疑問から、古典的な数理論全体の中心となった主な問題を切り離すことに成功した。 彼はまた、数論的命題を証明するための強力な一般的方法、いわゆる無限降下法または無限降下法 (以下で説明します) の発見にも責任を負っています。 したがって、フェルマーは当然のことながら整数論の創始者であると考えることができます。 18年1640月XNUMX日付けのデベシーへの手紙の中で、フェルマーは次のように述べています。 а 素数で割り切れない р、そのような指標があります кその а - で割った р、ここで、k は除数です р-1。 このステートメントは、フェルマーの小定理と呼ばれます。 それはすべての初等数論の基本です。 オイラー は、この定理にいくつかの異なる証明を与えました。 ディオファントスは、算数の第 XNUMX 巻で、与えられた正方形を XNUMX つの有理正方形の和として表すタスクを設定しました。 余白に、この課題に対して、フェルマーは次のように書いています。 「逆に、立方体を XNUMX つの立方体に分解することも、XNUMX 次方程式を XNUMX つの四次方程式に分割することも、一般に、XNUMX 乗より大きい任意のべき乗に、同じ指数を持つ XNUMX つのべき乗に分解することも不可能です。私は本当に素晴らしい証明を発見しました。しかし、これらのフィールドは彼には狭すぎます。」 これは有名な大定理です。 この定理には驚くべき運命がありました。 前世紀、彼女の研究は、代数的数の演算に関連する最も繊細で美しい理論の構築につながりました。 根号で方程式を解く問題と同様に、数論の発展において重要な役割を果たしたといっても過言ではありません。 唯一の違いは、後者がすでにガロアによって解決されており、大定理が依然として数学者の研究を奨励していることです。 一方、この定理の定式化の単純さとその「奇跡的な証明」に関する不可解な言葉は、非数学者の間で定理の広範な人気と「フェルマティスト」の全団体の形成につながりました。ダベンポートの言葉は、「彼らの数学的能力をはるかに超えた勇気を持っている」. したがって、大定理は、それに与えられた間違った証明の数の点で第 XNUMX 位です。 フェルマー自身が四乗の大定理の証明を残しました。 ここで彼は新しい方法を適用しました。 フェルマーは次のように書いています。「本に見られる通常の方法では、このような難しい命題を証明するには不十分だったので、最終的にそれらを達成するための非常に特別な方法を見つけました。私はこの証明方法を無限または不定降下と呼びました。」 数論の多くの命題が証明されたのはこの方法によるものであり、特にその助けを借りて、オイラーは n=4 の大定理を (フェルマーの方法とは多少異なる方法で) 証明し、20 年後には n= について証明した。 3. フェルマーは、カルカヴィへの手紙 (1659 年 XNUMX 月) の中で、この方法を次のように説明しています。 「正方形に等しい面積を持つ直角三角形が整数である場合、これよりも小さい別の三角形があり、同じ特性を持つ.最初の三角形よりも小さいXNUMX番目の三角形があった場合、同じプロパティを持つ場合、この推論のおかげで、同じプロパティを持つXNUMX番目よりもXNUMX分のXNUMX小さいものが存在し、最後に、無限に下降するXNUMX番目、XNUMX番目が存在します。が与えられた場合、つまり整数はありません。) したがって、正方形の領域を持つ直角三角形は存在しないと結論付けられます。 フェルマーは、多くの熟慮の末、彼の方法を他の肯定命題の証明に適用することができたと言い続けています。 「しかし、この方法を他の命題の証明に適用するには」と I.G. Bashmakova は書いています。フェルマーはこれについて詳しく述べていません. フェルマーが降下法を使って証明したすべての定理のリスト. 手紙の最後で, フェルマーはこの方法が「残念ながら、この手紙は 3 年に出版されたばかりです。しかしながら、オイラーはフェルマーの方法を別の発言から復元し、それを不定解析の問題に適用することに成功しました。特に、彼はまた、n = 1879 に対する大定理の証明も所有しています。自然数の立方体が 3 つの立方体の和に分解できないことを証明する最初の試みが、アラブ東部で 1000 年頃に行われたことを思い出してください。 降下法は、A. ポアンカレと A. ワイルによるディオファントス分析の研究で再び主導的な役割を果たし始めました。 現在、この方法を適用するために、高さの概念、つまりそのような自然数が導入されており、これはある意味で各有理解に対応しています。 さらに、高さ A のそれぞれの有理解に対して、高さ A 未満の別の解があることを証明できる場合、これは問題が有理数で解けないことを意味します。 論文に至るまでのその後のすべての代数的整数論 ガウス フェルマーの問題から始まった。 5500 世紀、フェルマーの最終定理と相反の法則に関する研究は、算術の分野の拡大を必要としました。 Kummer は、フェルマーの最終定理に取り組んでいる間に、特定の種類の代数整数の算術演算を作成しました。 これにより、彼は特定のクラスの素数指数 n について大定理を証明することができました.現在、XNUMX 未満のすべての指数 n について大定理の有効性が検証されています. また、大定理は代数的整数論だけでなく、現在集中的に開発されている代数幾何学とも関連していることに注意してください。 しかし、一般的な形式の大定理はまだ証明されていません。 したがって、ここで新しいアイデアや方法の出現を期待する権利があります。 著者: サミン D.K.
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