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最も重要な科学的発見
非ユークリッド幾何学。 科学的発見の歴史と本質
上の ユークリッドの定義 平行線は、同じ平面上にあり、どれだけ伸ばしても交わることのない直線です。 しかし、すでにユークリッドの最も古いコメンテーターであるポジドニウス（紀元前XNUMX世紀）、ゲミノス（紀元前XNUMX世紀）、トレミー（紀元XNUMX世紀）は、ユークリッドのXNUMX番目の仮説がユークリッドの他の仮説や公理と同じ証拠を持っているとは考えていませんでした、そして他の規定の結果としてそれを推論するか、Euclidによって与えられた並列の定義を別の定義に置き換えようとしました。 XNUMX世紀後半 ライプニッツ ユークリッドの主な条項にも批判的です。 よく知られているように、彼はまた、代数が大きさを表現するのと同じように、位置の特性を直接表現する純粋な幾何学的分析を構築したいと考えていました。 しかし、この考えが平行線の問題に適用されるようになり、ギリシャの数学者が頻繁に使用した矛盾による証明の方法を平行線の理論で体系的に実行するようになったのは、XNUMX 世紀前半になってからのことです。 この素晴らしいアイデアはサッケリのものでした。亡くなった年に発表された作品「あらゆる汚れから解放されたユークリッド」において、サッケリは、底辺に垂直な対向する2辺が等しい四角形を出発点としている。このような四角形では、等しい辺と底辺の反対側の辺がなす角度は等しく、四角形のこの性質の証明はユークリッドのポストラトゥムに依存しません。それらが直線であれば、三角形の角度の合計は 2 つの直角に等しいため、ユークリッドのポストラトゥムが証明されます。しかし、サッケリ (これは彼のオリジナルの天才的なアイデアです) は、他にも 2 つの仮説、鋭角仮説と鈍角仮説を立て、これらの仮説から次の帰結を導き出し、これらの帰結の不可能性、つまり 1 つのみの帰結が許容されることを証明しようとします。直角仮説。彼は、鈍角仮説は矛盾を引き起こすため受け入れられないことを簡単に証明することに成功しました。鋭角仮説における同じ矛盾を見つけるために、彼は多くの注目すべき定理を導き出し、後にルジャンドルによって再び証明されました。これらは、たとえば、1 つまたは別の、あるいは 3 番目の仮説が 1 つの四角形に対して成立する場合、それは他の四角形に対しても成立するという定理です。 登場から 1766 年後の XNUMX 年、ランバートはサッケリと同じ問題を提起します。 XNUMX つの直角と XNUMX つの等しい辺を持つ四角形の代わりに、ランバートは XNUMX つの直角を持つ四角形を考え、XNUMX 番目の角について XNUMX つの仮説を立てます。 彼の説明には、サッケリの説明と比較していくつかの特徴があります。彼は、連続性に基づく議論に頼ることを避けています。 鈍角と鋭角の仮説では図形の類似性がないという事実から、ランバートは絶対尺度の存在についての結論を導き出します。 1799年、天才数学者 カールガウス サッケリとランバートが彼の前に行った道に沿って - 鋭角仮説のすべての結果の体系的な導出の道に沿って. しかし、彼の反省はユークリッドの公理を証明する可能性についての疑問につながり、1816 年までに数学者はそのような証明は不可能であると確信しました。 ユークリッドの公理の証明不可能性に関するガウスの世論は何の影響力も持たず、失礼な攻撃さえ受けました。 これが、「ボイオティア人の叫びを恐れて」(27 年 1829 月 XNUMX 日付のベッセルへの手紙)、彼が財団の問題に関する研究と考えを公表しないことに決めた理由の XNUMX つでした。 しかし、彼は研究を中断することはなく、彼の研究や見解と一致する作品や考えを最大の関心と共感をもって歓迎しました。 彼がこの道をどれだけ進んだかは、6 年 1832 月 1797 日付の Wolfgang Bolyai への手紙に示されています。ガウスは、1802 年から 180 年の間に Johann Bolyai が到達した結果を見つけたと述べています。 たとえば、非ユークリッド幾何学では、XNUMX 度からの三角形の角度の合計の差が三角形の面積に比例するという定理の純粋に幾何学的な証明。 ガウスの学校の友人であるヴォルフガング・ボリャイは、平行線の理論に大きな関心を示しました。 1820 年の彼の息子への手紙によると、この並外れた関心は、彼の人生のすべての喜びを毒し、幾何学を汚れから解放し、「処女の真実の美しさを覆い隠す雲を取り除きたい」という願望に彼を殉教者にしました。 しかし、彼の父親のほぼ全生涯の努力が第 5 公準の証明に向けられ、目標を達成できなかった一方で、彼の才能ある息子は非ユークリッド幾何学の作成者の XNUMX 人でした。 Johann Bolyaiは、1802年にクラウゼンブルクで生まれました。 すでに1807年に、彼の父はガウスに喜びと誇りを持って、14歳までにすでに面積測定、立体測定、三角法、円錐断面を研究し、1818歳ですでに解いていた少年の並外れた数学的能力について書きました。微分積分学の問題を簡単に。 ヴォルフガングは息子を「数学の巨像」でゲッティンゲンに留学させることに失敗し、1823年にヨハンはウィーン工学アカデミーに入学しました。そこでは高等数学に多くの注意が払われました。 XNUMX年、彼はアカデミーでコースを修了し、軍事技術者としてテメトバー要塞に派遣されました。 並外れた数学的能力を持っていたヨハンが、ほとんど少年の頃に、父親が苦しめられた問題を解決しようと決心したことはまったく自然なことですが、父親は、それを解いた人は誰でもダイヤモンドに値すると言いました。地球儀の大きさ。 1820年、ヨハンは公理を証明する方法をすでに見つけていることを父親に知らせ、父親は彼に、平行線の理論に従事することに対して警告する熱烈な手紙を書いた. 1823 年の冬の夜、彼はある点から直線に下ろした垂線の長さと、漸近線 (平行線) がこの垂線となす角度との基本的な関係を発見しました。 ロバチェフスキー）、これは非ユークリッド三角法の鍵です。 公理XIの証明への道を開くように思われた彼の発見に熱心に、彼は3月XNUMX日にテメトバールから父親に次のように書いています。現在建てられている塔と比較すると、カードの家にすぎません。」 1829 年、ヴォルフガングは大規模な数学的エッセイを完成させ、約 1829 年間取り組んだ。 この本の付録として、ヨハン・ボリアイの不滅の作品も出版されました。 もちろん、ボリアイは、遠く離れたカザンで同時にロバチョフスキーが彼の最初の作品「幾何学の原理について」（XNUMX）を出版しているとは思っていませんでした。 ニコライ・イワノビッチ・ロバチェフスキー（1792–1856）は、ニジニ・ノヴゴロド州のマカリエフスキー地区で生まれました。 彼の父は地区建築家の場所を占領し、わずかな内容を受け取った多くのささいな役人に属していました。 彼の人生の最初の数日間に彼を取り巻く貧困は、1797年に彼の父親が亡くなり、彼の1802歳の母親が何の手段もなく子供たちと一緒に残されたときに貧困に変わりました。 XNUMX年、彼女はXNUMX人の息子をカザンに連れて行き、カザン体育館に配属しました。そこでは、彼女の中間の息子の驚異的な能力にすぐに気づきました。 1804年にカザン体育館の上級クラスが大学に変わったとき、ロバチェフスキーは自然科学部門の学生数に含まれていました。 その若者は見事に勉強した。 ロバチェフスキーは優れた教育を受けました。 天文学に関する講義はリトロフ教授によって読み上げられました。 彼は、カール・フリードリッヒ・ガウスなどの著名な科学者の弟子であるバルテルス教授による数学の講義を聞きました。 すでに 1811 年に、ロバチェフスキーは修士号を取得し、教授職の準備のために大学に残されました。 1814 年、ロバチェフスキーは純粋数学の准教授の称号を受け取り、1816 年には教授になりました。 1819年からロバチョフスキーは天文学を教えました。 科学者の管理活動は、1820 年に学部長に選出されたときに始まりました。 ロバチョフスキーは、休息の瞬間を残さなかった疲れ果てた実践活動にもかかわらず、科学的研究を決して止めず、学長時代にカザン大学の科学ノートに彼の最高の作品を発表しました。 ヨハン・ボリャイが父親の影響下で平行線の理論を研究し始めた場合、ロバチョフスキーは、この理論への関心がXNUMX世紀の終わりとXNUMX世紀の初めに特に復活したという理由だけで、それを研究し始めることができました。 ロバチェフスキーの最初の作品が登場する前の 30 周年に、平行線の理論に関する 1813 つまたは複数の作品が登場しない年はありませんでした。 1827 年から XNUMX 年までにドイツ語とフランス語でのみ印刷された、最大 XNUMX 点の作品が知られています。 ルジャンドルの研究は、ロシアの数学者の間でも平行線の理論への関心を呼び起こしました。 出版された作品でロシアの数学教育の歴史の中で名誉ある地位を獲得した最初のロシアの学者、CE. グリエフは、1798 年に出版された彼の最も重要な著作である幾何学要素の改善に関するエッセイで、平行線の理論とルジャンドルによって与えられた証明に特別な注意を払いました。 これらの証拠を批判して、グリエフは彼自身の証明を提供します。 特定の条件下では、私たちに平行に見える線が交差する可能性があるという主張に基づいて、ロバチェフスキーは、新しい一貫したジオメトリを作成することが可能であるという結論に達しました。 その存在は現実の世界では想像できなかったので、科学者はそれを「想像上の幾何学」と呼びました。 しかし、彼はI. Boliaiのように、すぐにはこの考えにたどり着きませんでした。 1815年から1817年の講義、1823年の幾何学の教科書、そして私たちに伝わっていない「幾何学の原理の博覧会」は、12年1826月1823日の物理数学部の会議で読まれました。平行線の理論の分野におけるロバチェフスキーの考えのXNUMXつの段階です。 講義では、彼はそれを正当化するためのXNUMXつの異なる方法を示しています。 XNUMX年の教科書で、彼はこれまでに与えられたすべての証明が数学の完全な意味で尊重されるに値しないと宣言し、最後に、XNUMX年後、彼はすでにユークリッドの仮定とは異なる位置に幾何学を構築するためのそのシステムを与えています、彼の名前を不滅にした。 「博覧会」は私たちに届いていません。 彼が博覧会からの抜粋と呼んでいるロバチェフスキーの最初の印刷物は、1829年から1830年にかけてKazan Vestnikに掲載されました。 後者の「付録」は1831年に出版され、1832年になってようやく絶版になったため、この日付は、I.ボリアイと比較してロバチェフスキーの発見の出版の優先順位を確立します。 「博覧会」というタイトルが示すように、その主題は平行線の正確な理論だけでなく、幾何学の原理の問題にも向けられていました。 I. Boliai と Lobachevsky の両方がこの発見によりハノーバー科学アカデミーのメンバーに選出されましたが、西ヨーロッパで市民権を取得したのは Lobachevsky の幾何学でした。 1837 年にロバチョフスキーの作品がフランス語で出版されました。 1840 年に彼はドイツ語で平行線の理論を発表し、偉大なガウスの認識に値しました。 ロシアでは、ロバチェフスキーは彼の科学的業績の評価を見ませんでした。 明らかに、ロバチェフスキーの研究は同時代の人々の理解を超えていました。 彼を無視する人もいれば、失礼な嘲笑や叱責で彼の仕事に挨拶する人もいました。 私たちの他の非常に才能のある数学者 オストログラツキー 当然の名声を享受しましたが、誰もロバチェフスキーを知りませんでした。 Ostrogradsky自身が彼をあざけったり敵対的に扱ったりしました。 非常に正確に、またはむしろ徹底的に、ロバチェフスキーの幾何学恒星幾何学と呼ばれるXNUMXつの幾何学者。 光が何千年もの間地球に到達する星があることを覚えていれば、無限の距離のアイデアを形成することができます。 したがって、ロバチェフスキーの幾何学には、ユークリッドの幾何学が特定のものとしてではなく、特別な場合として含まれています。 この意味で、最初のものは私たちに知られている幾何学の一般化と呼ぶことができます。 ここで疑問が生じます、ロバチェフスキーはXNUMX次元の発明を所有していますか？ 全くない。 XNUMX次元および多次元の幾何学は、ドイツの数学者、ガウスの学生、リーマンによって作成されました。 一般的な形での空間の特性の研究は、現在、非ユークリッド幾何学、またはロバチェフスキーの幾何学を構成しています。 ロバチェフスキー空間はXNUMX次元の空間であり、ユークリッドの仮説がその中で行われないという点で私たちの空間とは異なります。 この空間の特性は現在、XNUMX次元を想定することによって理解されています。 しかし、このステップはすでにロバチェフスキーの信者に属しています。 当然、そのような空間はどこにあるのかという疑問が生じます。 それに対する答えは、XNUMX世紀最大の物理学者によって与えられました アルバート・アインシュタイン. ロバチェフスキーとリーマンの公準の研究に基づいて、彼は相対性理論を作成し、空間の曲率を確認しました。 この理論によれば、物質の塊は周囲の空間を湾曲させます。 アインシュタインの理論は天体観測によって繰り返し確認され、その結果、ロバチェフスキーの幾何学が私たちの周りの宇宙に関する基本的なアイデアのXNUMXつであることが明らかになりました. 著者: サミン D.K.
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