ユークリッド幾何学。科学的発見の歴史と本質

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ユークリッド幾何学。科学的発見の歴史と本質

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幾何学は、他の科学と同様に、実践の必要性から生まれました。まさに「幾何学」という言葉はギリシャ語で、翻訳では「測量」を意味します。

人々は非常に早い段階で土地を測定する必要性に直面しました。これには、幾何学的および算術的知識の一定のストックが必要でした。徐々に、人々はより複雑な幾何学的形状の特性を測定し、研究し始めました。

「私たちに伝わったエジプトのパピルスと古代バビロニアのテキストから、紀元前2年にすでに人々が三角形、長方形、台形の面積を決定し、円の面積を概算することができたことがわかります。 I. G. Bashmakova は次のように書いています。建築、そしてやや後の天文学は、幾何学に新しい要件を提示しました.エジプトとバビロンの両方で、巨大な寺院が建てられましたが、その建設は予備的な計算に基づいてのみ行うことができました.科学としての幾何学はまだ存在していませんでした。

幾何学は、論理的証明を体系的に適用し始め、直接測定だけでなく推論によって、ある位置を別の位置から導き出し、それらを一般的な形で確立することによって幾何学文を導き出し始めて初めて科学になりました。通常、この幾何学の革命は、紀元前XNUMX世紀の科学者および哲学者の名前に関連付けられています。サモスのピタゴラス".

しかし、それらに関連して作成されたすべての新しい問題と理論は、数学的証明の方法自体が改善されたという事実につながり、幾何学で一貫した論理システムを作成する必要性が高まりました。

「しかし、そのようなシステムを構築するにはどうすればよいですか？」とI.G.Bashmakovaは尋ねます。私たちは無期限に続けることができ、証明のプロセスは決して終わりませんでした。どうすればよいですか？この状況は古代に気づかれ、同時に方法が見つかりました。紀元前2世紀までに、ギリシャの数学者は幾何学を構築するときに、証明なしで受け入れられた特定の文を選択し、他のすべての提案はそれらから厳密に論理的に推論されました。証明なしで受け入れられた提案は公理と仮定と呼ばれました。300年以上にわたってそのような理論の最も完璧な例はEuclid'sElementsでした。紀元前XNUMX年」。

人生についてユークリッド（紀元前365年頃-紀元前300年頃）ほとんど何も知られていません。彼についてのほんの少しの伝説が私たちに降りてきました。「始まり」のプロクロス（西暦XNUMX世紀）に関する最初の解説者は、ユークリッドがいつどこで生まれ、死んだかを示すことができませんでした。プロクロスによれば、「この学んだ男」はプトレマイオスXNUMX世の治世中に住んでいました。いくつかの伝記データは、XNUMX世紀のアラビア語写本のページに保存されています。シリア人、タイヤ出身。

伝説の XNUMX つは、プトレマイオス王が幾何学を学ぶことにしたと伝えています。しかし、これはそれほど簡単ではないことが判明しました。それから彼はユークリッドに電話して、数学への簡単な方法を教えてくれるように頼んだ。「幾何学に王道はない」と科学者は答えた。というわけで、流行ったこの表現は伝説という形で私たちに伝わってきました。

プトレマイオス XNUMX 世は、国家を高揚させるために科学者や詩人をこの国に引き寄せ、彼らのためにミューズの神殿、ムセイオンを創設しました。研究室、植物園、動物園、天文学オフィス、天文塔、孤独な仕事のための部屋、そして最も重要なことに、素晴らしい図書館がありました。招待された科学者の中には、エジプトの首都アレクサンドリアに数学学校を設立し、その生徒のために基礎的な著作を執筆したユークリッドもいた。

ユークリッドが数学学校を設立し、彼の生涯の主要な著作である「要素」という一般的なタイトルの下に統合された幾何学に関する偉大な著作を執筆したのはアレクサンドリアでした。紀元前 325 年頃に書かれたと考えられています。

ユークリッドの前身であるタレス、ピタゴラス、アリストテレスなどは、幾何学の発展のために多くのことをしました。しかし、これらはすべて別個のフラグメントであり、単一の論理スキームではありませんでした。

ユークリッドの同時代人と信者の両方が、提示された情報の体系的かつ論理的な性質に魅了されました。「Beginnings」は、単一の論理スキームに従って作成された13冊の本で構成されています。それぞれの本は、その中で使用されている概念（点、線、平面、図など）の定義から始まり、その後、少数の基本的な規定（5つの公理と5つの仮定）に基づいて、証明、幾何学のシステム全体が構築されます。

当時、科学の発展は実用的な数学の方法の存在を意味していませんでした。本I-IVは幾何学をカバーし、その内容はピタゴラス学校の作品にまでさかのぼります。本Vでは、プロポーションの教義が開発されました。これは、エウドクソスのエウドクソスに隣接していました。書籍VII-IXには、ピタゴラスの一次資料の開発を表す数の教義が含まれていました。 Books X-XIIには、平面と空間の領域の定義（ステレオメトリー）、非合理性の理論（特に、Book X）が含まれています。本XIIIには、Theaetetusにさかのぼる通常の身体の研究が含まれています。

ユークリッドの「要素」は、その幾何学の表現であり、今日までユークリッド幾何学の名前で知られています。仮定として、ユークリッドはそのような文を選びました。それは、コンパスと直定規を使用した最も単純な構造によって何が検証できるかを述べました。ユークリッドはまた、いくつかの一般的な公理の命題を受け入れました。たとえば、別々にXNUMX分のXNUMXに等しいXNUMXつの量は互いに等しいというものです。そのような仮説と公理に基づいて、ユークリッドはすべての面積測定を厳密かつ体系的に開発しました。

エレメントでは、彼は現代科学がユークリッド空間と呼んでいる空間の計量特性について説明しています。

ユークリッド空間は古典物理学の物理現象の舞台であり、その基礎はガリレオとニュートンによって築かれました。この空間は空で、無限で、等方性があり、XNUMX つの次元を持っています。ユークリッドは、原子が移動する空の空間という原子論的な考え方に数学的な確実性を与えました。ユークリッドの最も単純な幾何学的オブジェクトは点であり、彼はそれを部分を持たないものとして定義します。言い換えれば、点は空間の分割できない原子です。

空間の無限性は、次の XNUMX つの公準によって特徴付けられます。

「直線は、任意の点から任意の点に引くことができます。」「境界のある直線は、直線に沿って連続的に延長できます。」「すべての中心とすべてのソリューションから円を描くことができます。」

平行の教義と有名な第XNUMXの仮定（「XNUMX本の線に当たる線が内部を形成し、片側の角度がXNUMX本未満の場合、無限に伸びるこれらのXNUMX本の線は角度がXNUMX本未満の側で交わる」）非ユークリッド幾何学とは異なり、ユークリッド空間とその幾何学の特性を定義します。

通常、「始まり」については、聖書に次いで最も人気のある古代の記念碑であると言われています。この本には非常に興味深い歴史があります。二千年の間、それは幾何学の小学校のコースとして使われた、学童のための参考書でした。エレメントは非常に人気があり、さまざまな都市や国の勤勉な筆記者によって多くのコピーが作成されました。その後、「始まり」はパピルスから羊皮紙、そして紙へと移りました。 2500世紀の間に、「原則」は6回発行されました。平均して、7〜XNUMX版が毎年発行されました。 XNUMX世紀まで、この本は学校だけでなく大学にとっても幾何学の主要な教科書と見なされていました。

ユークリッドの「始まり」は、アラブ人によって徹底的に研究され、後にヨーロッパの科学者によって研究されました。それらは主要な世界の言語に翻訳されています。最初のオリジナルは 1533 年にバーゼルで印刷されました。興味深いことに、英語への最初の翻訳は 1570 年にさかのぼり、ロンドンの商人であるヘンリービリングウェイによって行われました。

もちろん、ユークリッド空間のすべての特徴がすぐに発見されたわけではなく、何世紀にもわたる科学的思考の結果として発見されましたが、この研究の出発点はユークリッドの「始まり」でした。ユークリッド幾何学の基礎に関する知識は、今や世界中の一般教育に必要な要素です。

ユークリッドは幾何学だけでなく、すべての古代数学の基礎を築いたと言っても過言ではありません。

幾何学の基礎の研究が新しい、より高いレベルに上昇したのはXNUMX世紀になってからでした。 Euclidが、幾何学を構築するために実際に必要なすべての公理をリストしているわけではないことを知ることができました。実際、科学者はそれらを証明に使用しましたが、それらを定式化しませんでした。

それにもかかわらず、上記のすべては、それが可能であり、数学理論を構築する方法を最初に示したユークリッドの役割を少しも損なうものではありません. 彼は、数学でしっかりと確立された演繹法を作成しました。これは、その後のすべての数学者が、ある程度ユークリッドの学生であることを意味します。

著者: サミン D.K.

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