確率論。科学的発見の歴史と本質

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確率論。科学的発見の歴史と本質

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V.A. ニキフォロフスキーは、「確率論は、科学としてではなく、経験的な観察と情報の収集として、サイコロゲームが存在する限り、長い間存在していたと考えられます。」と書いています。 , 経験豊富なプレイヤーは、出た点の数が異なると発生頻度も異なることをゲーム内で知っており、おそらく考慮していました。たとえば、2 つのサイコロを投げる場合、1 つの点は一方向でしか現れません (各サイコロに 1 つの点)。そして、1 つの点は 2 つの方法で考えられます: 1+1+1、2+XNUMX+XNUMX、XNUMX+XNUMX+XNUMX。確率論の基本概念は、すでに述べたように、ギャンブルの問題、結果の処理に関連して生まれました。天文観測の問題、統計の問題、保険会社の実務など、航海や海運の発展とともに保険も普及していきました。」

XNUMX 世紀にさかのぼると、著名な数学者のタルタグリアとカルダノは、サイコロのゲームに関連する確率論の問題に目を向け、点を落とすためのさまざまな選択肢を数えました。

カルダノは、彼の作品「ギャンブルについて」で、確率論がすでに科学としての地位を確立していたときに、後で得られる計算に非常に近い計算を行いました。

同じカルダノは、XNUMX つまたは XNUMX つのサイコロを投げると、XNUMX つまたは別の数のポイントが得られる方法の数を計算できました。彼は考えられる放射性降下物の総数を決定しました。つまり、カルダノは特定の発生確率を計算しました。しかし、Tartaglia と Cardano のすべての表と計算は、将来の科学の資料にすぎませんでした。「完全に正確な結論に基づいて構築された確率計算は、パスカル и 農場「、Zeitenは言います。

フェルマーとパスカルは、確率の数学的理論の創始者になりました。

ブレーズパスカル（1623–1662）はクレルモンで生まれました。パスカルの家族全員が卓越した能力によって際立っていました。ブレイズ自身に関しては、幼児期から彼は異常な精神発達の兆候を示しました。

1631 年、パスカルが XNUMX 歳のとき、父親は子供たち全員を連れてパリに移り住み、当時の慣習に従って自分の地位を売却し、小さな資本の大部分をオテルドヴィルに投資しました。

多くの自由時間を持って、エティエンヌ・パスカルは息子の精神教育に専念していました。彼自身、多くの数学を行い、家に数学者を集めるのが好きでした。しかし、息子の勉強の計画を立てると、彼は息子がラテン語で上達するまで数学を脇に置きました。三角形の性質を独自に証明しようとした息子を見たときの父親の驚きは何でしたか。

パスカル神父と彼の友人の何人かで開催された会議は、真の学術会議の性格を帯びていました。 XNUMX歳から、若いパスカルもサークルのクラスに積極的に参加し始めました。彼はすでに数学に非常に強く、当時知られているほとんどすべての方法を習得しており、最も頻繁に新しいレポートを作成したメンバーの中で、彼は最初の一人でした.

XNUMX 歳のとき、パスカルは円錐曲線に関する非常に注目すべき論文を書きました。しかし、集中的な研究により、パスカルのすでに悪い健康状態がすぐに悪化しました。 XNUMX歳のとき、彼はすでに頭痛を常に訴えていましたが、最初はあまり注意を払っていませんでした。しかし、パスカルの健康は、彼が発明した算術機械での過度の作業中についに混乱しました。

パスカルが発明した機械は設計が非常に複雑で、その助けを借りて計算するにはかなりのスキルが必要でした。これは、同時代の人々の驚きを引き起こしたが、実用化されなかった機械的な好奇心のままであった理由を説明しています。

パスカルによる計算機の発明以来、彼の名前はフランスだけでなく海外でも知られるようになりました。

1643 年、トリチェリはパイプやポンプでさまざまな液体を持ち上げる実験を行いました。トリチェリは、水と水銀の両方が上昇する理由は、液体の開いた表面を圧迫する気柱の重さであると推測しました。

これらの実験は、パスカルに興味を持っていました。空気に重さがあることを知った彼は、ポンプやパイプで観察される現象をこの重さの作用によって説明することにしました。しかし、主な困難は、空気圧の伝達方法を説明することでした。 Blaise は次のように推論した: 気圧が実際に問題の現象の原因である場合、他のすべての条件が等しい場合、水銀を押す空気の柱が小さいか低いほど、水銀の柱が低くなる。気圧チューブ。

実験の結果、パスカルは、液体の圧力がすべての方向に均一に広がり、他のほとんどすべての機械的特性が液体のこの特性に由来することを示しました。さらに、科学者は、その分布に関して、空気の圧力が水の圧力と完全に類似していることを発見しました。

数学の分野では、パスカルは主に確率論への貢献で知られています。ポアソンが述べたように、「世界の厳格なジャンセニストに提起されたギャンブルに関連した問題は、確率論の起源でした。」この世俗的な男はシュヴァリエ・ド・メールであり、「厳格なジャンセニスト」はパスカルでした。デメールはギャンブラーだったと考えられている。実際、彼は科学に真剣に興味を持っていました。

いずれにしても、de Mere はパスカルに次の質問をしました。この問題の解決策は、それまで知られているすべての数学的方法に適しているわけではありませんでした。

ここで、ゲームが続行された場合にどちらのプレイヤーが勝つか分からないまま、問題を解決する必要がありました。これは、プレイヤーの勝敗の確率に基づいて解決しなければならない問題であったことは明らかです。しかしそれまで、ありそうな出来事だけを計算することを考えた数学者はいませんでした。この問題は推測に基づく解決策のみを可能にしているように見えました。つまり、賭けを完全に無作為に分割する必要がありました。

この種の問題には完全に明確な解決策が認められ、「確率」は測定可能な量であることを理解するには、パスカルとフェルマーの天才が必要でした。 XNUMX つの白球と XNUMX つの黒球が入った壺から白球を取り出す可能性がどのくらいかを知りたいとします。ボールは XNUMX つあり、白ボールは黒ボールの XNUMX 倍あります。ランダムに描画する場合、黒いボールよりも白いボールが描画されると想定する方が妥当であることは明らかです。たまたま黒いボールを取り出すことがあるかもしれません。しかし、それでも、この出来事が起こる確率は、白の出来事が起こる確率よりも低いと言う権利があります。白玉の数を増やして黒玉をXNUMX個残すと、黒玉を引く確率が下がるのが分かります。したがって、XNUMX 個の白いボールと XNUMX つの黒いボールがあり、誰かが白いボールではなく黒いボールが引かれると賭けるよう求められた場合、狂人かギャンブラーだけがかなりの金額を有利に賭けることを決定するでしょう。黒いボールの。

確率測度の概念を理解すると、PascalがdeMereによって提案された問題をどのように解決したかを理解するのは簡単です。明らかに、確率を計算するには、好ましいイベントのケースの数とすべての可能なケースの数（好ましいものと悪いものの両方）の比率を知る必要があります。結果として得られる比率は、望ましい確率です。したがって、10個の白いボールがあり、たとえば110個の黒いボールがある場合、全部で1個の「ケース」があり、そのうちの11個が黒いボールを支持します。したがって、黒いボールを引く確率はXNUMXからXNUMX、またはXNUMXからXNUMXです。

Chevalier de Méré によって提案された 1654 つのタスクは次のとおりです。最初に、最高のポイント数、つまり XNUMX を獲得するために、XNUMX つのサイコロを何回投げる必要があるかを調べる方法。別の方法: 未完のゲームの場合に XNUMX 人のプレーヤー間で賞金を分配する方法。最初のタスクは比較的簡単です。ポイントの異なる組み合わせがいくつあるかを判断する必要があります。これらの組み合わせの XNUMX つだけがイベントに有利であり、残りはすべて不利であり、確率は非常に単純に計算されます。 XNUMX番目のタスクははるかに困難です。両方とも、数学者フェルマーによってトゥールーズで、パスカルによってパリで同時に解決されました。この機会に、XNUMX 年にパスカルとフェルマーの間で通信が始まり、個人的な知り合いではなかったが、彼らは親友になった。フェルマーは、彼が発明した結合理論によって両方の問題を解決しました。 Pascal の解決策はもっと単純でした。彼は純粋に算術的な考察から始めました。逆に、パスカルはフェルマーをうらやむどころか、結果の一致を喜び、次のように書いています。トゥールーズでもパリでも同じです。」

これがパスカルの簡潔な解決策です。 Pascal によると、32 人のプレイヤーがプレーしていて、そのうちの 64 人が XNUMX 勝した後に最終的な報酬が得られるとします。各プレーヤーの賭け金が XNUMX chervonets で、最初のプレーヤーがすでに XNUMX つのゲームに勝っており (XNUMX つ負けている)、XNUMX 番目のプレーヤーが XNUMX つ勝っているとします (XNUMX つ負けています)。彼らにはもうXNUMXつのゲームがあります。最初の人が勝った場合、彼は全額、つまりXNUMX個のシェルボネットを受け取ります。 XNUMX番目の場合、それぞれがXNUMX勝する場合、両方のチャンスは等しくなり、ゲームが終了した場合は、明らかにそれぞれが等しく与えられる必要があります。

つまり、最初の方が勝てば64ダカットを受け取ることになります。後者が勝った場合、前者は 32 チェルボネしか受け取りません。したがって、両方が次の試合をプレイしないことに同意した場合、前者は「たとえ次の試合に負けたとしても、いずれにしても私は 32 チェルボネを受け取る」と言う権利を有します。、これを最後と認めることに同意しました。したがって、32 ドゥカットは私のものです。残りの 32 人については、おそらく私が勝つでしょう、おそらくあなたも勝つでしょう。したがって、この疑わしい金額を半分に分けてみましょう。したがって、プレーヤーが最後のゲームをプレイせずに解散した場合、最初のプレーヤーには 48 チェルボネ、つまり全額が与えられ、16 番目の XNUMX チェボネが与えられます。または、最初のプレーヤーが勝つ可能性が明らかであることから、は XNUMX 番目の XNUMX 倍です (表面的な推論で考えるかもしれませんが、XNUMX 倍ではありません)。

パスカルとフェルマーが確率論に転向した少し後 Heingens クリスチャン・ホイヘンス（1629–1695）。彼は数学の新しい分野における彼らの進歩について知らされた. ホイヘンスは「ギャンブルの計算について」という作品を書いています。それは、1657 年に彼の教師である Schooten の「Mathematical Etudes」の付録として初めて登場しました。 XNUMX 世紀の初めまで、「エチュード」は確率論の唯一のガイドであり、多くの数学者に大きな影響を与えました。

ホイヘンスはシューテンへの手紙の中で次のように述べています。「この主題を注意深く研究すると、読者は彼がゲームを扱っているだけでなく、非常に興味深く深い理論の基礎がここに築かれていることに気付くと思います。「」このような声明は、ホイヘンスが検討中の主題の本質を深く理解していることを示唆しています。

ホイヘンスは数学的期待値の概念を導入し、それを異なる数のプレーヤーと異なる数の欠落ゲームで賭けを分割する問題と、サイコロを投げることに関連する問題の解決に適用しました。数学的期待値は、最初の主要な確率論的概念になりました。

XNUMX世紀には、統計に関する最初の作品が登場しました。彼らは主に、男の子と女の子の出生分布、さまざまな年齢の人々の死亡率、さまざまな職業の人々の必要数、税額、国富、および収入の計算に専念しています。同時に、確率論に関連する方法が使用されました。そのような仕事はその発展に貢献しました。

ハリーは、1694年に死亡率の表を作成したときに、年齢層ごとに観測データを平均しました。彼の意見では、既存の偏差は「明らかに偶然によるもの」であり、「はるかに長い」観測年数ではデータに急激な偏差がないということです。

確率理論は、さまざまな分野で非常に応用されています。これを通じて、たとえば、天文学者は観測の誤りの可能性を判断し、砲兵は特定の地域に落下する可能性のある砲弾の数を計算し、保険会社は生命保険や財産保険に支払われる保険料と利息の額を計算します。

そしてXNUMX世紀後半には、いわゆる「統計物理学」が誕生しました。これは、あらゆる物質を構成する原子や分子の膨大なコレクションを確率の観点から具体的に研究する物理学の一分野です。。

著者: サミン D.K.

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このクレイジーなアイデアは、ウィーン大学の天体物理学者によって非常に実現可能であると考えられており、独自の設計モデルを 500 x 390 メートルの仮想小惑星に適用しました。

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