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最も重要な科学的発見
代数学の基本定理。 科学的発見の歴史と本質
「代数の基本定理は声明の形で: 代数方程式はその次数と同じ数の根を持ち、Girard と デカルト、 -彼の著書「方程式の世界で」V.A。 ニキフォロフスキー。 - その定式化は、実数係数を持つ代数多項式が実数の線形因子と二次因子の積に分解されるという事実から成り、ダランベールに属し、 オイラー. オイラーは、1687 年 1759 月 1 日付のニコライ 1742 世ベルヌーイ (XNUMX 年 - XNUMX 年) への手紙で、このことを最初に報告しました。 このことから、実係数をもつ代数方程式の根は複素数体に属していることがわかりました。 この定理の最初の証明は、1746 年にダランベール (1717–1783) によって行われました。 しかし、ダランベールの代数の基本定理の証明は代数的ではなく、解析的でした。 フランスの数学者は、べき級数、無限小など、当時まだ形になっていない分析の概念を使用しました。 定理の証明に誤りがあり、後に壊滅的な批判を受けたことは驚くべきことではありません。 ガウスそして忘れ去られた。 オイラーは、代数の基本定理の証明において新たな重要な一歩を踏み出しました。 レオンハルト・オイラー (1707–1783) はバーゼルで生まれました。 ホームスクーリングの後、XNUMX 歳のレナードは、父親から哲学を学ぶためにバーゼル大学に送られました。 他の科目の中でも、初等数学と天文学がこの学部で研究され、ヨハン・ベルヌーイによって教えられました。 ベルヌーイはすぐに若いリスナーの才能に気づき、彼と一緒に勉強し始めました。 1723年に修士号を取得した後、ラテン語でデカルトの哲学について演説した後、 ニュートン, レナードは父親の要望で東洋の言語と神学を学び始めました。しかし、彼はますます数学に惹かれていきました。オイラーは先生の家を訪れるようになり、ヨハン・ベルヌーイの息子たち、ニコライとダニエルとの間に友情が芽生え、それがレナードの人生において非常に重要な役割を果たした。 1725 年、ベルヌーイ兄弟はサンクトペテルブルク科学アカデミーのメンバーになるよう招待されました。 彼らは、オイラーがロシアに引っ越したという事実に貢献しました。 オイラーの発見は、活発なやり取りのおかげで出版のずっと前から知られるようになり、彼の名前がますます広く知られるようになりました。 1727年に科学アカデミーにおける彼の地位は向上し、非常勤、つまり下級学者の地位で仕事を始め、1731年には物理学の教授、つまりアカデミーの正会員となった。 1733年、彼はそれまでD.ベルヌーイが占めていた高等数学の椅子を受け取り、彼は今年バーゼルに戻った。オイラーの権威の成長は、師ヨハン・ベルヌーイから彼に宛てられた手紙に独特に反映されていました。 1728年、ベルヌーイは「最も学識があり才能に恵まれた若者、レオンハルト・オイラー」、1737年には「最も有名で機知に富んだ数学者」、1745年には「数学者の指導者である比類のないレオンハルト・オイラー」に宛てた。 1736 年に彼の分析力学の XNUMX つのボリュームが登場しました。 この本の需要は大きかった。 力学のさまざまな問題について多くの記事が書かれていますが、力学に関する優れた論文はまだありません。 1738 年には算術入門の 1739 部がドイツ語で出版され、XNUMX 年には新しい音楽理論が出版されました。 1740 年末、ロシアの権力は摂政アンナ レオポルドヴナとその側近の手に渡った。 首都で憂慮すべき状況が発生しました。 この時、プロイセン王フリードリヒ XNUMX 世は、創設者を復活させることを決定しました。 ライプニッツ ベルリンの科学協会、長年ほとんど活動していません。 ピーターズバーグの彼の大使を通じて、王はオイラーをベルリンに招待しました。 オイラーは、「状況がかなり不確実に見え始めた」と信じて、招待を受け入れました。 ベルリンでは、オイラーは最初に彼の周りに小さな科学協会を集め、その後、新しく復元された王立科学アカデミーに招待され、数学部門の学部長に任命されました。 1743 年に彼は XNUMX 冊の回想録を出版し、そのうち XNUMX 冊は数学に関するものでした。 これらの作品の XNUMX つは、XNUMX つの点で注目に値します。 有理分数を部分分数に分解して積分する方法を示し、さらに現在一般的な定数係数を持つ高次の線形常方程式の積分方法を概説します。 一般に、オイラーの著作のほとんどは分析に特化しています。オイラーは、彼より前に始められた微小解析、関数の積分、級数理論、微分方程式の大きなセクション全体を非常に単純化して補足したため、それらは今日まで大部分が残っているほぼ形式を獲得しました。さらにオイラーは、変分法という分析のまったく新しい章を開始しました。彼のこの取り組みはすぐにラグランジュによって取り上げられ、新しい科学が形成されました。 代数の基本定理のオイラーの証明は、1751 年に「方程式の虚根に関する調査」という著作で発表されました。 オイラーは、定理の最も代数的な証明を行いました。 その後、彼の主なアイデアは他の数学者によって繰り返され、深化されました。 したがって、方程式を研究するための方法は、ラグランジュによって最初に開発され、その後、ガロア理論の不可欠な部分になりました。 主な定理は、方程式の根はすべて複素数体に属するというものでした。 この立場を証明するために、オイラーは、実数係数をもつ多項式は実数の XNUMX 次または XNUMX 次因子の積に展開できることを確立しました。 実数ではない数の値、「オイラーは虚数と呼ばれる」とニキフォロフスキーは書いている、「そして、それらは通常、和と積の対で実数を与えるものであると考えられていることを指摘しました。したがって、2 mの虚数がある場合根の場合、これは多項式表現の因子の m 実二次を与えます。オイラーは次のように書いています。 しかし、私の知る限り、この意見の真実性を十分に厳密に証明した人はまだいません。 したがって、例外なくすべてのケースをカバーする証拠を彼に与えるように努めます。」 ラグランジュも同じ概念を持っていたが、 ラプラス オイラーの他のいくつかの信者。 ガウスは彼女に同意しませんでした。 オイラーは、連続関数の性質から導かれる XNUMX つの定理を定式化しました。 1. 奇数次数の方程式には、少なくとも XNUMX つの実根があります。 そのようなルートが複数ある場合、それらの数は奇数です。 2. 偶数次数の方程式は、偶数の実根を持つか、まったく持たないかのいずれかです。 3. 自由項が負の偶数次方程式には、符号の異なる少なくとも XNUMX つの実根があります。 これに続いて、オイラーは実係数を持つ多項式の一次および二次の実因数への分解可能性に関する定理を証明しました... 主定理を証明するとき、オイラーは代数方程式の 1 つの特性を確立しました。その内、与えられた方程式の係数に関して合理的に表現されます。 2) 方程式の根の有理関数が根の順列に関して不変 (変化しない) である場合、それは元の方程式の係数に関して有理的に表現されます。 追記ラプラスは、1795 年の数学の講義で、オイラーとラグランジュに続いて、多項式の因数分解を認めています。 同時に、ラプラスはそれらが実在することを証明します。 このように、オイラーもラグランジュもラプラスも、多項式の因数分解体の存在を仮定して、代数の基本定理の証明を構築しました。 主定理の証明における特別な役割は、「数学者の王」ガウスに属します。 カール・フリードリヒ・ガウスはブランズウィックで生まれました (1777–1855)。彼は父親の家族から健康を、母親の家族から聡明な知性を受け継ぎました。 1788歳のとき、カール・フリードリヒはエカテリーナ民族学校に入学しました。 XNUMX 年、ガウスは体育館に入りました。ただし、数学は教えません。ここでは古典言語が勉強されます。ガウスは言語の勉強を楽しんでおり、自分が何になりたいのかさえわからないほど進歩しています - 数学者なのか文献学者なのか。 彼らは法廷でガウスについて学びます。 1791年に彼はブランズウィック公カール・ヴィルヘルム・フェルディナンドに紹介された。少年は宮殿を訪れ、数え方の技術で廷臣たちを楽しませます。公爵の後援のおかげで、ガウスは 1795 年 XNUMX 月にゲッティンゲン大学に入学することができました。最初は文献学の講義を聞くだけで、数学の講義にはほとんど出席しない。しかし、これは彼が数学をやっていないという意味ではありません。 1795 年、ガウスは整数に対する情熱的な関心を抱きました。 同じ年の秋、ガウスはゲッティンゲンに移り、初めて手にした文学、つまりオイラーとラグランジュの作品を文字通り飲み込みました。 「30 年 1796 月 XNUMX 日、創造的なバプテスマの日が彼に訪れます。 - F. クラインは書いています。 - ガウスは、彼の「原始的な」根の理論に基づいて、統一から根をグループ化することにすでに取り組んできました。ある朝、目を覚ますと、彼は突然、XNUMXゴンの建設が彼の理論に従っていることにはっきりとはっきりと気づきました...この出来事はガウスの人生のターニングポイントでした. 彼は文献学ではなく専ら専念することにしました.数学へ。」 ガウスの研究は、長い間、数学的発見の達成不可能な例となりました。非ユークリッド幾何学の創始者の一人であるヤノス・ボリャイは、これを「現代、あるいは史上最も輝かしい発見」と呼びました。しかし、この発見を理解するのは困難でした。根号の 1825 次方程式の解けないことを証明した偉大なノルウェーの数学者アーベルの祖国に宛てた手紙のおかげで、私たちは彼がガウス理論の研究中に通過した困難な道について知ることができます。 XNUMX年、アーベルはドイツから次のように書いている。「たとえガウスが最も偉大な天才だったとしても、彼は明らかに、すべての人がこれを一度に理解できるように努力したわけではありません...」ガウスの研究は、アーベルに「非常に多くの素晴らしい定理がある」という理論を構築するよう促しました。それを信じることはまったく不可能です。」ガウスがガロアにも影響を与えたことは疑いの余地がありません。 ガウス自身は、人生で初めて発見したことに感動的な愛を抱いていました。 30 年 1796 月 8 日、通常の XNUMX 十角形が建設された日、ガウスの日記が始まります。これは彼の驚くべき発見の記録です。日記の次のエントリは XNUMX 月 XNUMX 日に掲載されました。それは、彼が「黄金の」定理と呼んだ二次相反性定理の証明について報告しました。このステートメントの特殊なケースが証明されています 農場、オイラー、ラグランジュ。 オイラーは一般予想を定式化したが、その不完全な証明はルジャンドルによって与えられた。 8 月 XNUMX 日、ガウスはオイラー予想の完全な証明を発見しました。 しかし、ガウスは偉大な先人たちの仕事についてまだ知りませんでした。 彼は自分で「黄金の定理」への困難な道を歩みました！ ガウスは、10 歳になる 19 か月前のわずか XNUMX 日間で XNUMX つの大きな発見をしました。 「ガウス現象」の最も驚くべき側面の XNUMX つは、彼の最初の作品では、実質的に前任者の業績に依存せず、数論で XNUMX 世紀半の間に行われたことを短期間で再発見したことです。偉大な数学者の作品。 1801年、ガウスによる有名な「算術調査」が発表されました。 この巨大な本 (500 ページ以上の大判ページ) には、ガウスの主な結果が含まれています。 「算術研究」は、数論と代数のさらなる発展に大きな影響を与えました。 相反の法則は、代数的整数論の中心的な場所の XNUMX つを占めています。 ブラウンシュヴァイクでは、ガウスは算術調査の作業に必要な文献に精通する機会がありませんでした。 そのため、彼はよく図書館のある近くのヘルムシュタットに行きました。 ここで、1798 年に、ガウスは代数の基本定理の証明に専念する論文を作成しました。 ガウスは、代数の基本定理の 1799 つの証明を残しました。 彼は XNUMX 年に発表された博士論文を最初の証明に捧げ、「ある不変量の有理代数関数全体を XNUMX 次と XNUMX 次の実因数に分解できるという定理の新しい証明」と題しました。 ガウスはオイラーのギャップに注意を払わずにはいられず、最も重要なことは、方程式の根の存在が事前に想定されていた場合、問題の定式化そのものを批判したことです。 ダランベールの証明と同様に、ガウスの最初の証明は分析的でした。 1815 年に彼によって実行された XNUMX 番目の証明では、有名な数学者は、方程式の根の存在が事前に仮定されている場合、推論によって代数の基本定理の証明の批判に再び戻りました。 ガウスは、導入部分で新しい証明の必要性を説明しました:「私が 16 年前に出版された回想録で与えた有理関数全体の因数分解の証明は、厳密さと単純さの点で望ましいものは何も残していませんが、数学者が、私がこの非常に重要な問題に再び戻って、完全に異なる原理から始めて、純粋に分析的な原理に基づいて、それほど厳密ではない第 XNUMX の証明を構築することを望ましくないと考えないことを願っています。 ガウスが解析的方法と呼んでいるものは、今日では代数的方法と呼ばれていることに注意してください。 証明のために、ガウスは多項式の展開体の構成を使用しました。 L クロネッカーが任意の多項式の展開体を構築するためのガウス法を改善および開発してから、1848 年以上が経過しました。 その後、ガウスは代数の基本定理の証明をさらに XNUMX つ与えました。 最後の XNUMX 番目は XNUMX 年を指します。 オイラー、ラグランジュ、ガウスによる代数の基本定理の証明の主な結果は、I.G. バシュマコフは、「代数の基本定理の代数的証明は、その実装のために代数自体の新しい深い方法が開発され、すでに作成された方法と技術の力がテストされたという理由だけで価値がある」と述べていました. 著者: サミン D.K.
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