微分積分。科学的発見の歴史と本質

最も重要な科学的発見
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微分積分。科学的発見の歴史と本質

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ずっと前にニュートン и ライプニッツ多くの哲学者や数学者が無限小の問題を扱ったが、最も初歩的な結論だけに限定した. 古代ギリシャ人でさえ、幾何学的研究で限界の方法を使用しました。これにより、たとえば円の面積が計算されました。この方法は、古代の偉大な数学者によって特別に開発されました。アルキメデス、その助けを借りて多くの注目すべき定理を発見しました。ケプラーこの点で、ニュートンの発見に最も近づいた。数杯のワインをめぐる買い手と売り手との間の純粋にありふれた論争の際に、ケプラーは樽型の物体の容量の幾何学的な決定を取り上げました。これらの研究では、無限小の非常に明確なアイデアをすでに見ることができます. したがって、ケプラーは、円の面積を無数の非常に小さな三角形の合計、またはより正確には、そのような合計の限界と見なしました。その後、イタリアの数学者カバリエリが同じ問題を取り上げました。特に、XNUMX 世紀のフランスの数学者ロベルヴァルは、この分野で多くのことを行いました。農場 и パスカル. しかし、ニュートンと少し後にライプニッツだけが、数理科学のすべての分野に大きな刺激を与える真の方法を作成しました。

オーギュスト・コントによれば、微分積分、つまり微量の分析は、有限と無限、人間と自然の間に架け橋となるものであり、有限に関する大まかな分析を XNUMX 回行っただけでは、自然法則についての深い知識は不可能です。なぜなら、自然界ではあらゆる段階で、無限、継続的、変化するからです。

ニュートンは、分析の分野で彼が行った以前の発見に基づいて方法を作成しましたが、最も重要な問題では、幾何学と力学の助けを借りました。

ニュートンが新しい方法を発見した正確な時期は正確にはわかっていません。この方法と重力理論との密接な関係から、この方法は 1666 年から 1669 年にかけて、いずれにせよライプニッツがこの分野で最初の発見を行う前にニュートンによって開発されたと考えるべきです。「ニュートンは数学が物理研究の主なツールであると考えていました」とV.A.ニキフォロフスキーは述べています、「そして、それをさらに多くの応用のために開発しました。長い熟考の後、彼は運動の概念に基づいた微積分に行き着きました。彼にとって数学はそうではありませんでした」人間の心の抽象的な産物として機能する彼は、幾何学的なイメージ - 線、面、体 - は動きの結果として得られると信じていました。つまり、点が動くと線、線が動くと面、線が動くと物体が得られます。表面が動きます。これらの動きは時間内で実行され、任意の短い時間の間、点、たとえば任意の小さな経路が通過します。瞬間速度、つまり特定の瞬間の速度を見つけるには、時間の増分に対する経路の増分（現代の用語で）の比率、そしてこの比率の限界、つまり時間の増分がゼロになる傾向があるときの「最後の比率」を計算します。そこでニュートンは次の検索を導入しました。「最後の比率」、導関数、彼はフラクションと呼んでいました...

... バローにも知られている、微分と積分の操作の相互逆に関する定理の使用と、多くの関数の導関数の知識により、ニュートンは積分を取得する機会を得ました (彼の用語では流暢)。積分が直接計算されなかった場合、ニュートンは被積分関数をベキ級数に拡張し、それを項ごとに積分しました。関数を級数に展開するために、彼はほとんどの場合、彼が発見した二項展開を使用し、初等法も適用しました...」

新しい数学的装置は、彼の人生の主な著作である「自然哲学の数学的原理」の作成の時点ですでに科学者によってテストされていました。当時、ニュートンは微分、積分、級数展開、微分方程式の積分、および内挿に精通していました。

V.A. ニキフォロフスキーは続けて、「ニュートンはライプニッツの前に発見を行ったが、それらをタイムリーに公開しなかった。彼の数学的著作はすべて、彼が有名になった後に公開された.任意の指数.1664年に、彼は「次の文章は動きによって問題を解決するのに十分です」、数学における主要な発見を含みます. 原稿は草稿の形のままで、1665年後まで出版されませんでした.

1665 年に書かれた「無限数の項をもつ方程式による分析」の中で、ニュートンは、無限小級数の理論、方程式の解への級数の適用における彼の結果を説明しました...

...1670 年から 1671 年にかけて、ニュートンはより完全な作品「フラクシオンと無限級数の方法」の出版の準備を始めました。出版社を見つけることができませんでした：当時、数学に関する本は損失をもたらしました... 「フラクシオンの方法」では、ニュートンの教えがシステムとして表示されます：フラクシオンの微積分が考慮され、接線の決定へのそれらの適用、発見極値、曲率、求積法の計算、流束を使った方程式の解法、これは現代の微分方程式に相当します。」

1704年になって初めて、分析に関するニュートンの最初の作品が出てきました.1665年から1666年に彼によって書かれました。 1736年後、彼らは「無限数の項を持つ方程式を使用した分析」を発表しました。「フラクシオンの方法」は、著者がXNUMX年に亡くなった後に初めて光を見ました。

長い間、ニュートンは、ドイツのライプニッツが大陸で同様の問題にうまく対処しているとは思いもよらなかった.微積分の発見の優先順位。

ゴットフリートヴィルヘルムライプニッツ (1646–1716) は、ライプツィヒで生まれました。ライプニッツの母親は、息子の教育を担当し、当時ライプツィヒで最高と見なされていたニコライの学校に彼を送りました。ゴットフリートは父の図書室に座って丸一日過ごした。彼はプラトン、アリストテレス、キケロ、デカルトを無差別に読んだ。

ゴットフリートがまだ XNUMX 歳のとき、誰も彼を疑っていなかった才能を示して学校の教師を驚かせました。彼は詩人であることが判明しました-当時の概念によれば、真の詩人はラテン語またはギリシャ語でしか書くことができませんでした。

XNUMX 歳のとき、ゴットフリートはライプツィヒ大学の学生になりました。公式には、ライプニッツは法学部に所属していると見なされていましたが、法科学の特別なサークルは彼を満足させるにはほど遠いものでした. 法学の講義に加えて、彼は他の多くの講義、特に哲学と数学に熱心に出席しました。

ゴットフリートは数学教育を修了したいと考え、数学者ヴァイゲルが有名なイエナに行きました。ライプツィヒに戻ると、ライプニッツは「リベラルアーツと世界の知恵」、つまり文学と哲学の修士号の試験に見事に合格しました。当時のゴットフリートは18歳にも満たなかった。翌年、しばらく数学に目を向け、「コンビナトリアルアートに関する談話」を書きました。

1666 年の秋、ライプニッツは小さなニュルンベルク共和国の大学都市アルトルフに向けて出発しました。ここで、5 年 1666 月 XNUMX 日、ライプニッツは博士論文「絡み合った問題について」を見事に擁護しました。

1667年、ゴットフリートはマインツの選帝侯に会いに行き、選帝侯にすぐに紹介されました。ライプニッツは XNUMX 年間、マインツ宮廷で重要な地位にあり、この時期は活発な文学活動を行っていました。ライプニッツは、哲学的および政治的な内容の多くの作品を書きました。

18 年 1672 月 XNUMX 日、ライプニッツは重要な外交使節としてフランスに向けて出発しました。パリの数学者との知り合いは、ライプニッツに最短時間で情報を提供しました。この情報がなければ、彼の天才にもかかわらず、彼は数学の分野で真に偉大なことを達成することはできなかったでしょう. フェルマー、パスカル、デカルトの学派は、微分積分の将来の発明者にとって必要でした。

ライプニッツにとって、真の数学は 1675 年にロンドンを訪れて初めて始まりました。パリに戻ると、ライプニッツは数学の研究と哲学的な性質の研究に時間を分けました。法的な方向性よりも数学的な方向性が彼の中でますます優勢になり、正確な科学は今やローマの弁護士の弁証法よりも彼を惹きつけました。

1676 年にパリに滞在した最後の年に、ライプニッツは「微積分」として知られる偉大な数学的方法の最初の基礎を作り上げました。事実は、ライプニッツがフラクションの方法について知らなかったにもかかわらず、ニュートンの手紙によって発見に導かれたことを説得力をもって証明しています。一方、ライプニッツの発見が、一般性、指定の便利さ、および方法の詳細な開発の点で、ニュートンのフラクシオン法よりもはるかに強力で人気のある分析ツールになったことは間違いありません。ニュートンの同胞でさえ、長い間国民の虚栄心からフラクションの方法を好んでいましたが、ライプニッツのより便利な表記法を徐々に採用しました。ドイツ人とフランス人はニュートンの方法にほとんど注意を払っていませんでした。

ライプニッツの数学的手法は、その後のモナド理論（彼が宇宙を構築しようとした無限小の要素）と密接に関係しています。数学的アナロジー、つまり最大量と最小量の理論を道徳分野に適用することは、ライプニッツに道徳哲学の指針と考えられるものを与えました。

ライプニッツの政治活動は、主に数学から彼の気をそらしました。それにもかかわらず、彼は自分が発明した微分計算の処理にすべての自由時間を費やし、1677 年から 1684 年の間に数学のまったく新しい分野を作成することに成功しました。

1684 年に、ライプニッツは雑誌 Proceedings of Scientists で、微分計算の原理の体系的な解説を発表しました。彼が出版したすべての論文、特にニュートンのプリンキピアの初版が出版されるほぼ XNUMX 年前に登場した最後の論文は、科学に非常に大きな弾みを与えたので、実行された改革の完全な重要性を評価することさえ困難です。数学の分野でライプニッツによって。フランスとイギリスの最高の数学者の心にぼんやりと想像されていたものは、ニュートンを除いて、彼自身のフラクション法を持っていた.

「ライプニッツは、具体的で経験的で思慮深いニュートンとは対照的に、」V.P. Kartsev は次のように書いています。変更されて、それは私たちが今でも使用している小さな微積分の普遍的な表記法になりました. 彼は記号で自由に操作します... 彼は逆操作の記号を正しく考慮し、代数記号と同じように自由かつ自由にそれらを使用します.ニュートンは、特定の問題を解決するために必要に応じて、厳密に制限された高次のフラックスを導入しますが、彼は高次の導関数を簡単に操作します。

ライプニッツは微分と積分に一般的な方法を見出し、それまで未解決だった問題を単純化して解決する厳密なアルゴリズムを意識的に作成しようとしました。

一方、ニュートンは自分の方法を公開することをまったく気にしませんでした。彼の象徴性は、彼が「内部」の個人的な消費のためにのみ導入したものであり、厳密にはそれに固執しませんでした。

ソビエトの数学者 A. シバノフの意見は次のとおりです。「ニュートンへの敬意の伝統はイギリスの科学に重くのしかかっていた。彼の称号はライプニッツのものに比べてぎこちなく、進歩を妨げていた」とオランダの科学者 D.Ya は同意する。ストロイク。

1677 年 XNUMX 月に書かれた手紙の中で、ライプニッツはニュートンに自身の微分法を直接明らかにしました。彼はライプニッツの手紙に返事をしなかった。ニュートンは、この発見は永遠に自分のものだと信じていました。頭の中に隠されていれば十分です。科学者は心から信じていました：タイムリーな出版はいかなる権利ももたらしません。神の前では、発見者は常に最初に発見した人です。

著者: サミン D.K.

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