代数の基礎。科学的発見の歴史と本質

最も重要な科学的発見
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代数の基礎。科学的発見の歴史と本質

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ギリシャ人はバビロニア人から代数に関する最初の情報を借りたと信じられています。ギリシャの新プラトン主義の哲学者プロクロス・ディアドクスは、エッセイの中で次のように述べています。「ほとんどの意見によると、幾何学はエジプトで最初に発見され、面積の測定に起源がありました。」バビロニア代数の伝統が古代ギリシャの数学とイスラム諸国の代数学校に与える影響は、数学史で強調されています。学校でこの科学を勉強するときに私たちが慣れている形での数学の基礎の作成は、ギリシャ人の多くに落ち、紀元前XNUMX世紀からXNUMX世紀にまでさかのぼります。古代科学は作品の頂点に達したユークリッド, アルキメデス、アポロニア。

西暦 XNUMX 世紀における古代数学の新たな隆盛は、偉大な数学者ディオファントスの業績に関連しています。彼の主な仕事は算術です。残念ながら、XNUMX冊のうちXNUMX冊だけが現代に残っています。ディオファントスは、バビロニア人の数値代数学を復活させて発展させ、ギリシャ人が使用した幾何学的構造から解放することに成功しました。ディオファントスは最初に文字の象徴主義を示します。彼は、未知数、平方、立方体、XNUMX 乗、XNUMX 乗、XNUMX 乗、および最初の XNUMX つの負の乗という表記を導入しました。『数学の歴史』では、このことが特に注目されています：「ディオファントスの本は、彼の中に文字通りの象徴性が存在することを証言しています。このステップの重要性は非常に大きいです。これに基づいてのみ、文字通りの微積分を作成することができ、それを可能にする数式装置が開発されました。」代数象徴主義の集中的な発展が始まったのは XNUMX 世紀の終わりからであり、XNUMX 世紀の終わりからになってからです。ヨーロッパでは、文字微積分の作成が完了したのは、XNUMX世紀末からXNUMX世紀初頭になってからでした。ビエタ и デカルト".

「Diophantus」は、V.A。Nikiforovskyが書いています。「自然指数による累乗の乗算と除算に対応する、未知の累乗による代数演算の規則と、乗算記号の規則を定式化しました。これにより、多項式をコンパクトに書き留めることができました。彼はまた、方程式の負の項を反対の符号を持つ別の部分に転送するための規則、つまり方程式の両方の部分で同じ項を相互に消滅させるための規則を示しました。

595 世紀以降、数学文化の中心は徐々に東のヒンズー教徒とアラブ人に移りました。ヒンドゥー教の数学は数値でした。それは、幾何学の証明と正当化においてヘレネスの厳密さを達成したいという願望によって特徴付けられ、図面に満足しています。ヒンドゥー教徒の主な成果は、私たちがアラビア語と呼ぶ数字と、数字の位置表記法を導入し、二次方程式の根の二重性、平方根の二値性を発見し、負の数式を導入したことです。数字。私たちに知られている十進法位置システムの最初の適用は 346 年に遡ります。そのようなシステムで年数 XNUMX が書かれたプレートが保存されています。

インドで最も有名な数学者は、アリヤバータ (「最初の」と呼ばれ、約 500 人) とブラマグプタ (約 625 人) でした。ヒンズー教徒は、幾何学に関係なく数を考えていました。彼らは、有理数の動作規則を無理数に拡張し、それらを直接計算しました。

代数的象徴性の改善におけるヒンズー教徒の別の成果は、彼らがいくつかの異なる未知数とその力の表記法を導入したことです。ディオファンタスのように、それらは本質的に言葉の略語でした。

インドの数学者に続いて、中近東の数学者も位置の法則を使い始めました。 XNUMX 世紀前半の代数学の発展の歴史において特別な役割を果たしたのは、アル＝フワリズミーのアラビア語で書かれた「修復と反対の書」（アラビア語で「Kitab al-jabr wal-muqabala」）という論文です。）。その後、ラテン語に翻訳する際にも、この論文のアラビア語のタイトルはそのまま残されました。時間が経つにつれて、「アル・ジャブル」は「代数」に縮小されました。

論文では、方程式の解は算術との関連ではもはや考慮されていませんが、数学の独立した分野として考えられています。アラビア語の数学者は、未知数、その二乗、方程式の自由項が代数で使用されることを示しています。 Al-Khwarizmi は未知のものを「根」と呼んだ。 al-Khwarizmi は、さまざまな種類の方程式を解くときに、方程式の負の項をある部分から別の部分に移すことを提案し、それを復元と呼んでいます。この場合、方程式の両辺から等しい項を引くことを、彼は対立 (wal muqabala) と呼びます。

「彼の論文al-Khwarizmiで、」アレクサンダー・スベチニコフは次のように述べています。タイプ別の方程式は、完了と反対のルールを適用する方法を説明し、さまざまなタイプの方程式を解くためのルールを定式化します。

アル・クワリズミの写本では、すべての数式とすべての計算が言葉で書かれているため、当時以降の代数は修辞的、つまり口頭で呼ばれていました。代数論文の研究期間中、アル・クワリズミはすでにバビロンや他の東の国々の数値代数について知っていました。彼はギリシャ人の幾何代数とインドの天文学者と数学者の業績に精通していた。

Al-Khwarizmi は、数学の特別なセクションとして代数的素材を選び出し、幾何学的解釈から解放しましたが、場合によっては幾何学的証明を使用しました。 Al-Khwarizmi の代数的研究はモデルとなり、後の多くの数学者によって研究および模倣されました。その後の代数の著作と教科書は、その性質上、現代のものに近づき始めました。 al-Khwarizmi の代数論文は、代数学の創造の始まりとなりました。彼は、ラテン語に翻訳された数学に関する最初の著作の XNUMX つでした。当時のヨーロッパでは、すべての科学的著作物がラテン語で書かれ、印刷されていました。

問題を解決するとき、主なことは問題の内容を理解し、それを代数の言語で表現する能力です。簡単に言えば、問題の状態を記号、つまり数学的記号を使用して書き留めます。

すでに述べたように、ディオファンタスは、記号で書かれた代数方程式の概念を与えましたが、現代のものとはかけ離れています。フランソワビエトは、未知のものだけでなく、与えられた量も文字で指定した最初の人でした。したがって、彼は、記号に対して代数変換を実行する可能性、つまり数式の概念を導入する可能性の素晴らしいアイデアを科学に導入することに成功しました。このようにして、彼は文字通りの代数の作成に決定的な貢献をしました。これにより、ルネサンス数学の開発が完了し、フェルマー、デカルト、ニュートンの結果の出現への道が開かれました。

フランソワ・ヴィエ (1540-1603) は、南フランスの小さな町ファンティネ・ル・コントで生まれました。ビエタの父親は検察官でした。言い伝えによれば、息子はポワトゥー大学を卒業後、父親の職業を選び、弁護士になったという。 1560 年、XNUMX 歳の弁護士は故郷の都市でキャリアをスタートしましたが、XNUMX 年後、貴族のユグノー・ド・パルトネー家に仕えるようになりました。彼は家の所有者の秘書となり、彼の娘、XNUMX歳のキャサリンの教師になりました。この若い弁護士に数学への興味を呼び起こしたのはその教えでした。

1671年、ビエテは公務員になり、議会の顧問になり、その後フランスのアンリXNUMX世の顧問になりました。

1580年、ヘンリーXNUMX世はビエタをラケットマスターの重要な州の役職に任命しました。これにより、国王に代わって国の命令の実施を管理し、大封建領主の命令を一時停止する権利が与えられました。

公務員である間、ベトナムは科学者のままでした。彼は、スペイン国王とオランダの代表者との傍受された通信を解読できることで有名になりました。そのおかげで、フランス国王は敵の行動を完全に認識していました。

1584年、ギーズの主張により、ヴィエタは役職を解かれ、パリから追放された. 彼の作品のピークが落ちるのはこの時期でした。予想外の余暇を受け取った科学者は、あらゆる問題を解決できる包括的な数学の作成を目標として設定しました。彼は、「最新の代数学者の機知に富んだ発明と古代人の深い幾何学的研究の両方を取り入れた、一般的でまだ知られていない科学が存在するに違いない」という確信を発展させました。

ヴィエタは、1591 年に出版された有名な『分析技術入門』の中で、自分の研究プログラムの概要を説明し、共通のアイデアによって統一され、新しいアルファベット代数の数学言語で書かれた論文を列挙しました。列挙は、科学の新しい方向性である単一の全体を形成するために、これらの研究が出版される順序で行われました。残念ながら、単一の全体はうまくいきませんでした。論文は完全にランダムな順序で出版され、多くはビエタの死後初めて日の目を見ることになった。論文の XNUMX つがまったく見つかりませんでした。しかし、科学者の主なアイデアは見事に成功しました。代数の強力な数学的微積分への変換が始まりました。彼の著書の中で「代数」という名前自体が「分析芸術」という言葉に取って代わられました。彼はド・パルトネーへの手紙の中で次のように書いている：「すべての数学者は、代数学とアルムカバラの下に…比類のない宝物が隠されていることを知っていたが、彼らはそれを見つける方法を知らなかった。彼らが最も難しいと考えていた問題は、数十の数学者によって非常に簡単に解けた」私たちの芸術の助け...」

ベトは彼のアプローチの基礎を種のロジスティクスと呼んだ。古代人の例に従って、彼は数、大きさ、関係を明確に区別し、それらを特定の「種」の体系に集めました。このシステムには、たとえば、変数、その根、平方、立方体、平方二乗などのほか、実際の寸法 (長さ、面積、体積) に対応する多くのスカラーが含まれていました。これらの種に対して、ベトはラテンアルファベットの大文字で指定する特別な記号を与えました。母音は未知の量に使用され、子音は変数に使用されました。

Viet は、記号を操作することで、関連する任意の量に適用できる結果を得ることができること、つまり、問題を一般的な形で解くことができることを示しました。これは、代数学の発展における根本的な変化の始まりを示しました: 文字通りの微積分が可能になりました。

彼の方法の強さを実証するために、科学者は特定の問題を解決するために使用できる一連の公式を彼の研究にもたらしました。アクションサインのうち、彼は「+」と「-」、部首記号、および分割のための水平線を使用しました。作品は「in」という言葉で表されました。 Viet は括弧を最初に使用しましたが、これは括弧の形式ではなく、多項式上の線でした。しかし、彼は以前に導入された記号の多くを使用しませんでした。したがって、正方形、立方体などは、単語または単語の最初の文字で示されます。

ビエタの象徴性は、特定の問題を解決することと一般的なパターンを見つけることの両方を可能にし、それらを完全に実証しました。したがって、代数は、幾何学に依存しない、数学の独立した枝として出現しました。「この革新、特にリテラル係数の使用は、代数の開発における根本的な変化の始まりを示しました。代数の微積分が、数式のシステムとして、運用アルゴリズムとして可能になったのは今だけです。」

その後、ヴィエタの象徴にピエール・ド・フェルマーが続きました。代数的象徴性のさらなる重要な改善はデカルトに属します。ルネ・デカルトは、係数を表すためにラテンアルファベットの小文字を導入しました。未知数を指定するために、彼は同じアルファベットの最後の文字を使用しました。この革新は数学者の仕事に広く採用され、わずかな変更を加えて、今日まで生き残っています。

著者: サミン D.K.

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