群論。科学的発見の歴史と本質

最も重要な科学的発見
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群論。科学的発見の歴史と本質

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根の順列群は、Lagrange とガウス. しかし、概念の本質的な特性を定式化し、それらを新しい困難な問題の解決に適用した人のメリットは議論の余地がありません。これは、群の概念のためにフランスの数学者ガロアによって行われました。彼の仕事の後、それは数学者の研究対象になりました。

エヴァリスト・ガロア (1811–1832) はブール・ラ・レーヌで生まれました。 1823 年、エヴァリストは両親からパリの王立大学に留学させられました。ここで彼は数学に興味を持ち、ルジャンドル、オイラー、ラグランジュ、ガウスの作品を独自に研究し始めました。

ラグランジュのアイデアはガロアを完全に引き継いでいます。彼には、かつてアベルに見られたように、XNUMX 次方程式の解を見つけたように思えます。彼は工科大学への入学を試みましたが失敗しましたが、ルジャンドルとラグランジュの作品の知識は十分ではなく、ガロアは大学に戻りました。

ここで初めて幸せが微笑みます-彼は彼の天才に感謝することができた教師に会います。リチャードは公式プログラムを超える方法を知っており、科学の進歩を認識しており、学生の視野を広げようと努めました。 Evariste についての Richard のコメントは単純です。

確かに、すでに1829歳で、ガロアは最初の科学的結果を受け取りました。 XNUMX年、彼のメモ「周期連分数に関する定理の証明」が出版されました。同時に、ガロアはパリ科学アカデミーに別の作品を発表しました。彼女はコーシャズで道に迷った。

ガロアはポリテクニックスクールに再入学しようとしましたが、再び失敗しました。これにすぐに、若い男に衝撃を与えた出来事が追加されました。彼の父親は政敵に追われ、自殺しました。エヴァリストに降りかかった不幸は、必然的に彼に影響を与えました。彼は神経質になり、短気になりました。

1829年、ガロアは師範学校に入学した。教師の称号の候補者を準備しました。ここでエヴァリストは代数方程式の理論に関する研究を完了し、1830 年にパリ科学アカデミーのコンクールに作品を提出しましたが、彼の運命はアカデミー常任書記長フーリエの手に委ねられていました。フーリエは原稿を読み始めるが、すぐに死んでしまう。 XNUMX番目の原稿も最初の原稿と同様に消滅します。

ガロアの人生において、重要な出来事でいっぱいの時が来ました。彼は共和党に参加し、「人民友好協会」に参加し、国家警備隊の砲兵隊に登録しました。指導部に反対の声を上げたため、彼は師範学校から追放されました。

14 年 1831 月 23 日、バスティーユ襲撃の次の記念日を記念して、共和党員の表明が行われました。警察は多くのデモ参加者を逮捕しましたが、その中にはガロアも含まれていました。ガロアの裁判は 1831 年 9 月 XNUMX 日に行われました。彼は懲役 XNUMX か月の判決を受けた。ガロアは刑務所で研究を続けた。

30 年 1832 月 XNUMX 日の朝、ジャンティイの町での決闘で、ガロアは胃に銃弾を受けて致命傷を負いました。彼は一日後に亡くなりました。

ガロアの数学的著作は、少なくとも現存するものは、XNUMX ページの長さです。このような少量の作品が、著者にこれほど広く知られるようになったことはかつてありませんでした。

1832 年、ガロアは刑務所にいる間にプログラムを作成し、彼の死からわずか XNUMX 年後に出版されました。しかし、XNUMX 世紀の初めになっても、それは深刻な関心を呼び起こすことはなく、すぐに忘れ去られてしまいました。何世代にもわたる科学者の仕事を続けてきた現代の数学者だけが、最終的にガロアの夢を実現しました。

「裁判官に少なくともこの数ページを読んでほしい」とガロアは有名な回顧録を始めた. しかし、ガロアのアイデアは非常に深く包括的であったため、当時の科学者がそれらを理解することは非常に困難でした.

「...したがって、計算を改善することによって得られる単純化（もちろん、技術的な単純化ではなく、基本的な単純化を意味します）は、まったく無制限ではないと思います。数学者が代数変換を非常に明確に予測できるようになる瞬間が来るでしょう。慎重に実行するための時間と紙の支出は報われなくなります。分析がそのような先見性を超えて新しいことを達成できないとは言いませんが、それなしではいつの日か無駄になると思います。

計算を自分の意志に従属させること、数学的演算をグループ化すること、外部の兆候ではなく難易度に従ってそれらを分類することを学ぶこと - これらは私が理解している未来の数学者の仕事です。私は取りたい。

私が示した猛烈さを、何人かの数学者が計算をまったく避けたいという願望と混同しないでください. 代数式の代わりに、彼らは長い議論を使用し、数学的変換の面倒さに加えて、そのようなタスクを実行するのに適していない言語を使用して、これらの変換の口頭での説明の面倒さを追加します。これらの数学者は XNUMX 年遅れています。

ここではそのようなことは何も起こりません。ここでは分析分析を行っています。同時に、現在知られている最も複雑な変換 (楕円関数) は、特別なケースとしてのみ考慮され、非常に有用で必要でさえありますが、それでも一般的ではないため、さらに広範な研究を拒否することは致命的な間違いになります. ここで概説されている高度な分析で言及されている変換が実際に実行され、ここで発生する機能の種類ではなく、難易度に従って分類される時が来るでしょう。

ここで、「群数演算」という言葉に注意する必要があります。ガロアは間違いなく、これによって群論を意味します。

まず第一に、ガロアは個々の数学的問題には興味がありませんでしたが、考慮事項の連鎖全体を決定し、論理的な思考過程を導く一般的なアイデアに興味がありました。彼の証拠は、その時までに達成されたすべての結果を組み合わせて、今後の科学の発展を決定することを可能にする深い理論に基づいています。ガロアの死から数十年後、ドイツの数学者デイヴィッド・ヒルベルトはこの理論を「ある概念の枠組みの確立」と呼んだ。しかし、どのような名前が付けられていても、非常に広い範囲の知識をカバーしていることは明らかです。

「数学では、他の科学と同様に、この瞬間に対処する必要がある問題があります。これらは、高度な思想家の心を捉える差し迫った問題です。彼ら自身の意志と意識に関係なく。」

エヴァリスト・ガロアが取り組んだ問題の XNUMX つは、代数方程式の解法でした。数値係数を持つ方程式だけを考えるとどうなるでしょうか? 結局のところ、そのような方程式を解くための一般的な公式はありませんが、個々の方程式の根は根号で表すことができる場合があります。そうでない場合はどうなりますか？では、この方程式が根号で解かれているかどうかを判断できる記号があるに違いありません。このサインは何ですか？

ガロアの最初の発見は、意味の不確かさの程度を減らしたこと、つまり、これらの語根の「特性」のいくつかを確立したことでした。 XNUMX 番目の発見は、ガロアがこの結果を得るために使用した方法に関連しています。方程式自体を研究する代わりに、ガロアはその「群」、または比喩的に言えば「族」を研究しました。

A. ダルマは、「群」は、特定の共通のプロパティを持つオブジェクトのコレクションです。たとえば、実数をそのようなオブジェクトとして考えてみましょう。実数のグループの一般的なプロパティは、任意の XNUMXこの群の要素, 我々はまた実数を得る. 実数の代わりに, 幾何学で研究された平面上の運動は「オブジェクト」として現れることができる. この場合, 群の特性は、任意のXNUMXつの運動の和再び動きを与える. 簡単な例からより複雑な例に移ると, オブジェクトに対するいくつかの操作を「オブジェクト」として選択できます. この場合, グループの主な特性は、任意のXNUMXつの操作の合成も操作であるということです.ガロアが研究したのはこのケースでした. 解く必要のある方程式を考慮して, 彼はそれに特定のグループの操作を関連付けました (残念ながら, これがどのように行われるかをここで明確にすることはできません) そして方程式の特性がこのグループの特徴を反映しています。異なる方程式が同じ群を持つこともあるので、これらの方程式ではなく、それに対応する群を考えればよい。この発見は、数学の発展における現代の段階の始まりを示しました。

グループを構成する「オブジェクト」が何であれ: 数、動き、または操作 - それらはすべて、特定の機能を持たない抽象的な要素と見なすことができます。グループを定義するために必要なのは、特定の「オブジェクト」のセットをグループと呼ぶために従わなければならない一般規則を定式化することだけです。現在、数学者はそのような規則を群公理と呼び、群論はこれらの公理のすべての論理的帰結を列挙することから成り立っています。同時に、ますます多くの新しいプロパティが一貫して発見されています。それらを証明することで、数学者は理論をますます深化させます。オブジェクト自体もオブジェクトに対する操作も指定されていないことが重要です。この後、特定の問題の研究において、グループを形成する特別な数学的または物理的なオブジェクトを考慮する必要がある場合、一般理論に基づいて、それらの特性を予測できます。したがって、グループの理論は、資金の目に見える節約を提供します。さらに、研究活動における数学の応用に新たな可能性を切り開きます。

群の概念の導入により、数学者は多くの異なる理論を検討する負担から解放されました。ある理論の「基本的な特徴」を選び出すだけでよいことが判明し、実際、それらはすべて完全に類似しているため、同じ単語で指定するだけで十分であり、すぐに明らかになりますそれらを別々に研究することは無意味であること。

ガロアは、肥大化した数学的装置に新しい統一性を導入しようとしています。群理論とは、まず物事を数学的な言語で整理することです。

XNUMX 世紀末に始まった群理論は、数学的解析、幾何学、力学、そして最終的には物理学の発展に大きな影響を与えました。その後、それは数学の他の分野にも浸透しました。リー群は微分方程式の理論に登場し、クライン群は幾何学に登場しました。力学やグループにもガリレオグループが誕生しました。ローレンツ相対性理論で。

著者: サミン D.K.

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