対数。科学的発見の歴史と本質

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対数。科学的発見の歴史と本質

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XNUMX 世紀を通じて、主に天文学で近似計算の数が急速に増加しました。惑星運動の研究には膨大な計算が必要でした。天文学者は、不可能な計算に溺れてしまう可能性があります。金融や保険など、他の分野でも明らかな困難が生じました。主な難しさは、複数桁の数、特に三角関数の掛け算と割り算でした。

正弦と余弦の表を使用して、掛け算を簡単な足し算と引き算にするために使用されることもありました。 100までの正方形の表も編集され、特定の規則に従って乗算を実行できるようになりました。

しかし、これらの方法では、問題に対する満足のいく解決策は得られませんでした。彼らは彼に対数表を持ってきました。

「対数の発見は、XNUMX 世紀末までによく知られていた数列の特性に基づいていました。」と M.V. チリコフと A.P. ユシュケビッチは書いています。数学者によって、それは『プサミット』で言及されました。」アルキメデス。もう XNUMX つの前提条件は、次数の概念を負の指数と分数の指数に拡張することであり、これにより、今述べた関係をより一般的なケースに移すことが可能になりました。

多くの著者は、乗算、除算、累乗、根の抽出が、加算、減算、乗算、除算という同じ順序で、算術的に指数関数的に対応していることを指摘しています。数値を得るために指定された底を累乗する必要がある指数としての数値の対数という考え方は、ここではすでに隠されています。共通の項を持つ数列のよく知られた特性を実数指数に移すことが残されました。これにより、任意の正の値を取る連続指数関数とその逆対数が得られます。しかし、この根本的に重要な考えは数十年後に開発されました。

対数は約 XNUMX 年後にネイピアとブルギによって独立して発明されました。彼らの目標は同じで、新しい便利な算術計算手段を提供したいという願望でした。アプローチは異なることが判明しました。ネイピアは対数関数を運動学的に表現し、これにより彼は関数理論のほぼ未踏の分野に本質的に参入することができました。ビュルギは、離散的な進行の検討に基づいて留まりました。どちらの場合も、対数の定義は現代のものとは異なっていたことに注意してください。

対数の最初の発明者であるスコットランドのジョン・ネイピア男爵 (1550 年 - 1617 年) は、エディンバラの自宅で教育を受けました。その後、ドイツ、フランス、スペインを旅した後、XNUMX 歳でエジンバラ近くの家族の邸宅に定住しました。ネイピアは主に神学と数学を取り上げ、ユークリッド、アルキメデス、レギオモンタヌス、コペルニクスの作品から学んだ。

「対数の発見に」チリコフとユシュケビッチは次のように述べています。それらのプロパティと、1594 分間隔で 1614 から 0 度までの正弦と余弦の対数の表、およびこれらの対数の差から、正接の対数が得られます。彼は、計算方法の理論的結論と説明を提示しました。おそらく「説明」の前に作成された別の作品の表ですが、死後、「驚くべき対数表の構築」（90）で公開されました。両方の作品で、ネイピアは三角法の問題も考慮していることに言及しましょう。特に知られているのは対数に便利な「類推」、つまり、1 つの辺とそれらの間の角度、および 1619 つの角とそれらに隣接する辺で球面三角形を解くのに使用されるネイピアの比率。

ネイピアは最初から、連続的に変化する三角関数の量、つまりサインとコサインのすべての値に対する対数の概念を導入しました。当時の数学の状態では、微積分を解析するための装置がまだ存在していませんでした。そのための自然かつ唯一の手段は、対数の運動学的な定義でした。おそらく、XNUMX 世紀のオックスフォード学派に遡る影響と伝統がここにも影響を与えていないわけではありません。

ネイピアの対数の定義は、運動学的な考え方に基づいており、幾何学的職業とそのメンバーの指標の算術級数との間の接続を連続量に一般化します。

ネイピアは、1619 年に死後出版され、息子のロバートネイピアによって 1620 年に再出版された「驚くべき対数表の構築」という著作で対数の理論を提示しました。以下はその抜粋です。

「対数の表は、非常に簡単な計算によって、すべての幾何学的な次元と動きを見つけることができる小さな表です。それは、体積で正弦の表を上回っているため、非常に簡単であるために、小さいと正当に呼ばれます。すべての複雑な掛け算、割り算、根の抽出、および一般的なすべての数字と動きは、簡単な足し算、引き算、XNUMX での割り算によって測定されます。

16. 10000000 つのゼロを追加した完全な正弦波からその 10000000 番目の部分を減算し、このようにして得られた数値からその 10000000 番目の部分を引くなどすると、この系列は次の幾何比で 9999999 個の数値まで簡単に継続できます。は完全な正弦と XNUMX 未満の正弦の間、つまり XNUMX と XNUMX の間に存在します。この一連の比例関係を最初のテーブルと呼びます。

17. XNUMX 番目の表は、完全なサインに XNUMX つのゼロが追加され、他の XNUMX の数が、最も単純で最初の表の最初と最後の数の比率にできるだけ近い比率で比例的に減少することによって続きます。

First Table の最初と最後の数は 10000000.0000000 と 9999900.004950 であるため、この点で 100000 の比例数を形成することは困難です。近いと同時に単純な比率は 99999 対 100000 であり、完全な正弦に 9995001.222927 つのゼロを追加し、前の部分から XNUMX の部分を連続して減算することにより、十分な精度で継続できます。この表には、最初の数である完全な正弦に加えて、別の XNUMX の比例数が含まれており、その最後の数 (間違っていなければ) は XNUMX です。

18. XNUMX 番目の表は XNUMX の列で構成され、各列には XNUMX の数字があり、最も単純で、XNUMX 番目の表の最初と最後の要素の間に存在する関係に可能な限り近い関係に従います。 .

したがって、その最初の列は、2000 つのゼロが追加されたフルサインから、およびそれらから XNUMX 番目の部分を減算することによって後続の数値から非常に簡単に取得できます。

19. すべての列の最初の数値は、最も単純で、最初の列の最初と最後の数値の間に存在する比率に近い比率で XNUMX つのゼロが追加された完全な正弦に続きます。

20. 同じ比率で、最初の列の XNUMX 番目の数からすべての列の XNUMX 番目の数、XNUMX 番目の数は XNUMX 番目、XNUMX 番目の数は XNUMX 番目から、そしてそれに応じて残りの数から数列を形成する必要があります。残り。

したがって、前の列の任意の数値から、その XNUMX 分の XNUMX の部分を減算すると、次の列の同じ次数の数値が得られます。

21 .... これらの XNUMX つの表 (編集後) は、対数表を計算するのに十分です。」

1620 年、高度な技術を持った機械工兼時計技師であったスイスのヨーストブルギ (1552 ～ 1632 年) は、「算術および幾何級数の表」という本を出版し、それらをどのように理解し、あらゆる種類の分野で有益に使用するかを徹底的に説明しました。計算」（1620）。

ブルギ自身が書いたように、彼は等比数列における乗算と算術における加算の間の対応の考察から進んだ。問題は、分母が XNUMX に十分近い数列を選択して、その項が実際の計算に十分な間隔で互いに続くようにすることでした。

ただし、Bürgi のテーブルはあまり配布されませんでした。彼らは、より便利で、その時までにすでに広く知られているネイピアのテーブルと競合することはできませんでした.

ネーピアもブルガも、厳密に言えば、対数の底を持っていませんでした。なぜなら、XNUMX の対数はゼロとは異なるからです。そしてずっと後に、私たちがすでに十進法と自然対数に切り替えたとき、与えられた底の次数の指標としての対数の定義はまだ定式化されていませんでした.

それは、おそらく W. Gardiner (1742) で初めてマニュアルに登場します。しかし、ガーディナー自身は数学教師 W. ジョーンズの論文を使用しました。対数の現代的な定義が広く普及したのは、オイラー、この点で「財団」という用語を使用しました。

「対数」という用語はネイピアに属し、ギリシャ語の「比」と「数」の組み合わせに由来し、「比の数」を意味します。当初、ネイピアは「人工数字」という別の用語を使用していましたが。

三角関数の計算に適応したネイピアの表は、与えられた数値の操作には不便でした。これらの欠点を解消するために、ネイピアは対数の表を作成することを提案しました。1615 の対数にはゼロを取り、1561 の対数には 1631 だけを取ります。彼は、XNUMX 年にロンドンのグレッシュカレッジの数学教授であるヘンリーブリッグス (Henry Briggs、XNUMX 年 - XNUMX 年) との話し合いの中でこの提案を行いました。健康状態が悪化したため、ネイピアは計画の実行に携わることができませんでしたが、ブリッグスによってさらに開発された XNUMX つの計算方法のアイデアを示しました。

ブリゲは、骨の折れる計算の最初の結果、「最初の千の対数」(1617) をネイピアの死の年に発表しました。ここでは、1 から 1000 までの数の十進対数は 1624 桁で与えられました. 素数の十進対数のほとんどは、平方根を抽出することによって発見されました. その後、オックスフォード大学の教授になり、彼は対数算術 (1) を出版しました. この本には、20 から 000 までと 90 から 000 までの 100 桁の対数が含まれていました。

残りのギャップは、オランダの本屋で数学者のアンドリアン・フラック (1600–1667) によって埋められました。少し前に、サインとタンジェントの対数の 1581 桁の 1626 進表が、グレシャムカレッジのブリッグスの同僚で、オックスフォード大学の卒業生であるエドモンドガンサー (1620 年 - XNUMX 年) によって計算され、三角形のコード (XNUMX 年) でそれらを公開しました。

最初の数年間のネイピアの発見は、非常に幅広い人気を博しました。多くの数学者が対数表の編集とその改善に取り組んできました。そう、ケプラー 1624年から1625年にかけてマールブルクで、彼は対数を適用して惑星運動の新しい表を作成しました。ネイピアの記述の第 1618 版 (1 年) の付録では、いくつかの自然対数も計算されました。ここでは、制限の導入に対するアプローチを確認できます。おそらく、この追加は V. Ootred のものと思われます。間もなく、ロンドンの数学教師ジョンスペイデルは、1000 から 1659 までの数値の自然対数の表を出版しました。「自然対数」という用語は、P. Mengoli (1668) によって導入され、少し後に N. Mercator (XNUMX) によって導入されました。

計算表の実用的意義は非常に大きかった。しかし、対数の発見は、理論的にも非常に重要でした。それは、最初の発明者が夢にも思わなかった研究に命を吹き込み、大きな数の算術および三角法の計算を容易にし、高速化することのみを目標として追求しました。特にネイピアの発見は、新しい超越関数の領域への道を開き、分析の発展に強力な刺激を与えました。

著者: サミン D.K.

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