フィボナッチ数列のパラドックス。効果的なトリックとその解決策

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フィボナッチ数列のパラドックス。フォーカスの秘密

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フォーカスの説明:

数字 (図 1 および 2) を構成する 1 つの部分の辺の長さは、フィボナッチ数列のメンバーです。つまり、1 つの単位で始まる一連の数値です: 1、1、それぞれから始まります。 2 番目は、前の 3 つの合計です。行は 5、8、13、21、34、XNUMX、XNUMX、XNUMX、XNUMX のようになります。

フィボナッチ数列によるフォーカスパラドックス
Pic.1

フィボナッチ数列によるフォーカスパラドックス
図。 2

正方形を長方形の形で切り取った部分の配置は、フィボナッチ数列の特性の 8 つ、つまり次のことを示しています。この数列の任意の要素を 64 乗するとき、その数列の 5 つの隣接する要素の積は次のとおりです。プラスマイナス１が得られます。この例では、正方形の辺は 13 で、面積は 5 です。フィボナッチ数列の 13 は、65 と XNUMX の間に位置します。数値 XNUMX と XNUMX は長方形の辺の長さになるため、その面積は次のようになります。は XNUMX に等しくなります。これにより、面積が XNUMX 単位増加します。

この級数の特性のおかげで、辺が XNUMX より大きい任意のフィボナッチ数である正方形を作成し、この級数の先行する XNUMX つの数値に従ってそれを切り取ることができます。

たとえば、13 x 13 単位の正方形の場合、図に示すように、その 5 辺を長さ 8 単位と 2 単位のセグメントに分割して切断する必要があります。 169. この正方形の面積は 21 平方単位です。正方形の部分によって形成される長方形の辺は 8 と 168 になり、面積は XNUMX 平方単位になります。ここでは、対角線に沿ったパーツの重なりにより、正方形ユニットが XNUMX つ追加されずに失われます。

一辺が 5 の正方形を取ると、3 正方形単位が失われます。また、一般的な規則を定式化することもできます。つまり、正方形の辺に、8 を通るフィボナッチ数列 (2、5、...) の「最初の」部分列から何らかの数値を取り、その部分から長方形を構成します。正方形の場合、その対角線に沿ってギャップが生じ、その結果として面積が 13 単位だけ見かけ上増加します。「XNUMX 番目」の部分列からの数値 (XNUMX、XNUMX、XNUMX、...) を正方形の辺として取得すると、長方形の対角線に沿って重なり合う領域が得られ、XNUMX 平方単位の領域が失われます。

フィボナッチ数列に沿って移動するほど、重なりやギャップが目立たなくなります。逆も同様で、行の下に行くほど、重要性が高くなります。一辺が 3 単位の正方形でもパラドックスを構築できます。しかし、1xXNUMX の長方形には明らかな重なりがあり、パラドックスの効果は完全に失われます。

パラドックスに他のフィボナッチ数列を使用すると、次のことが得られます。無数のオプション。したがって、たとえば、2、4、6、10、16、26 などの行に基づく正方形では、4 平方単位の面積の損失または増加が生じます。これらの損失または利益の大きさは、特定の系列について、その項のいずれかの二乗と、その左右に隣接する 3,4,7 つの項の積との差を計算することでわかります。行 18,29、XNUMX、XNUMX、I、XNUMX、XNUMX など。 XNUMX 平方単位の利益または損失が得られます。

T. de Moulidar は、シリーズ 1、4、5、9、14 などに基づいて正方形の図を示しました。この正方形の辺は 9 に等しいとみなされ、長方形に変換すると、11 平方単位が失われます。。行 2、5、7、12、19 などでも、11 平方単位の損失または利益が得られます。どちらの場合も、対角線に沿った重なり（またはギャップ）は非常に大きいため、すぐに確認できます。

任意の XNUMX つの連続するフィボナッチ数を A、B、C で表し、面積の損失または利得を X で表すと、次の XNUMX つの式が得られます。

A+B=C

B2=AC±X.

X に目的の利得または損失を代入し、B に正方形の辺の長さとみなされる数値を代入すると、他の 2 つのフィボナッチ数を求めることができる二次方程式を構築できます。もちろん、必ずしも有理数であるとは限りません。たとえば、正方形を合理的な辺の長さを持つ図形に分割しても、2 つまたは 2 つの正方形単位の増減を得ることができないことがわかります。もちろん無理数を使えばこれは達成できます。したがって、フィボナッチ数列 √3、2√5、3√2、3√ ... は 3 平方単位の増加または損失を与え、数列 √3、5√3、XNUMX√XNUMX、XNUMX√XNUMX、... は XNUMX 平方単位の増加または損失を与えます。 .. 結果は XNUMX 平方単位の利益または損失になります。

著者: M. ガードナー

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