長方形のパラドックス。効果的なトリックとその解決策

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長方形のパラドックス。フォーカスの秘密

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フォーカスの説明:

部品の面積を合計すると、図の上部の三角形 B と C の順列が次のようになります。 1 では、見かけ上 XNUMX 平方単位が失われます。

長方形でフォーカスパラドックス
Pic.1

これは、影付きの部分の面積によるものです。図の上部には 15 個の影付きの正方形があり、下部には 16 個の影付きの正方形があります。影付きの部分を、それらを覆う特別な種類の 5 つの図に置き換えると、新しく印象的な四角形が得られます。パラドックスの形。今、目の前に長方形があり、これを 2 つの部分に切断し、それらを交換して新しい長方形を構成します。その直線寸法は同じであるにもかかわらず、面積がの穴ができます。中にはXNUMXつの正方形のユニットが現れます（図XNUMX）。

長方形でフォーカスパラドックス
Pic.2

ある図形を、外形寸法は同じだが周囲の内側に穴がある別の図形に変換する可能性は、次のことに基づいています。点 X を長方形の底辺からちょうど XNUMX 単位、辺から XNUMX 単位の位置に置くと、対角線はそれを通過しません。ただし、点 X と長方形の反対側の頂点を結ぶポリラインは、対角線からの逸脱がほとんどないため、ほとんど知覚できません。図の下半分の三角形BとCを入れ替えると、対角線に沿って図形の部分が少し重なり合います。

一方、図の上部で、長方形の向かい合う頂点を結ぶ線を正確に描かれた対角線とみなすと、XW 線は XNUMX 単位よりわずかに長くなります。この結果、XNUMX 番目の長方形は見た目よりもわずかに高くなります。最初のケースでは、欠落している領域単位が隅から隅まで分布し、対角線に沿って重なりを形成していると考えることができます。 XNUMX 番目のケースでは、欠けている正方形が長方形の幅全体に分布しています。前のパラドックスからすでにわかっているように、この種のすべてのパラドックスは、これら XNUMX つの構築オプションのいずれかに起因すると考えられます。どちらの場合も、数値の不正確さは非常にわずかであるため、まったく目に見えません。

このパラドックスの最もエレガントな形式は正方形であり、部分が再配置され、穴が形成された後も正方形のままです。

このような正方形には、数え切れないほどの変形例が知られており、任意の数の正方形単位の穴が付いています。そのうちの最も興味深いもののいくつかを図に示します。 3と4。

長方形でフォーカスパラドックス
Pic.3

長方形でフォーカスパラドックス
Pic.4

穴のサイズと大きな三角形の比率を関連付ける簡単な公式を示すことができます。ここで説明する 5 つのサイズを A、B、C で示します (図 XNUMX)。

長方形でフォーカスパラドックス
Pic.5

正方形単位の穴の面積は、A と C の積とサイズ B の最も近い倍数の差に等しいです。つまり、最後の例では、A と C の積は 25 です。サイズB～25は24なので穴は5マス単位となります。このルールは、実際の対角線が描かれるか、図の点 X が描かれるかに関係なく適用されます。 XNUMXは正方形のグリッドの線の交点にきれいに適用されます。対角線が厳密な直線として描かれている場合、または点 X が正方格子の頂点の XNUMX つで正確に取得されている場合、パラドックスは得られません。このような場合、式はゼロ平方単位の穴を与え、もちろん穴がまったく存在しないことを示します。

著者: M. ガードナー

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