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無線電子工学および電気工学の百科事典 RC フィルターの計算。 無線エレクトロニクスと電気工学の百科事典
フィルタリング効果のある周波数選択型または選択型回路を検討してください。つまり、ある周波数の信号はよく通過し、他の周波数の信号は通過しにくくなります。 たとえば、可能な限り広い帯域幅を獲得しようとする高品質のオーディオ周波数アンプなどでは、回路のこの特性が有害になることがあります。 また、たとえば、ラジオ受信機で、さまざまな周波数で動作するラジオ局からの大量の信号から、既知の周波数で放送されている XNUMX つの信号を選択する必要がある場合に便利です。 抵抗器のアクティブ抵抗は周波数に依存しないため（理想的な場合）、フィルタ回路（フィルタ）には必ずリアクタンス要素（キャパシタンスおよび/またはインダクタンス）が含まれている必要があります。 実際には、寄生容量や寄生インダクタンス (配線、リード線、P-N 接合など) が常に存在するため、ほとんどすべての回路はある程度フィルタであることがわかります。つまり、そのパラメータは周波数に依存します。 まず、最も単純な RC チェーンを考えてみましょう。 図上。 図２８ａは、低周波数を通過させ、高周波数を減衰させる単純なローパスフィルタ（ＬＰＦ）の図を示す。
伝達係数は、K = Uout / Uin の比です (より正確には、これはモジュール、または伝達係数の絶対値です)。 AC 回路についてすでにわかっている情報を使用して計算します。 回路内の電流は次のとおりです。
出力電圧はコンデンサCの両端の電圧降下に等しくなります。
電流を代入すると、
透過係数は複素数であることが判明しました。 これは、フィルタの出力電圧が入力に対して位相がずれていることを意味します。 K の複雑な性質を強調するために、K(jω) と表されることがよくあります。 モジュール（絶対値）と引数（位相）を求めてみよう K
ゲインの係数と位相は両方とも周波数に依存するか、周波数の関数と言われます。 引数の負の符号は、出力信号の位相が入力信号の位相より遅れていることを示します。 グラフを作成すると、図に示すフィルター (AFC および PFC) の振幅-周波数特性と位相-周波数特性が得られます。 それぞれ28,6とin。 フィルターは次のように機能します。 最低周波数ではコンデンサの静電容量が大きく、信号は抵抗 R を介してほとんど減衰することなく入力から出力に伝達されますが、周波数が高くなると静電容量が低下し、回路は分圧器として機能します。 カットオフ周波数 ωc では、静電容量はアクティブ抵抗に等しく、ωcRC = 1 となります。ただし、モジュール K は、アクティブ抵抗の場合のように 1/2 に等しくなく、1/V2 = となります。ベクトル電圧図 (図 0,7d) からわかるように、28 です。 カットオフ周波数でチェーンによって導入される位相シフトは 45 °です。その分、出力信号の位相は入力の位相より遅れます。 さらに周波数が増加すると、ゲイン係数は周波数に比例して低下し、位相シフトは -90° になる傾向があります。 多くの場合、計算を簡略化するために、RC = τ という表記が導入されます。 (チェーン時定数)、ωRC = ω/ωc = x (一般化された周波数)。 これらの表記における透過係数は非常に簡単に記述されます。
すべての計算が完了した後でのみ、前の表記に戻すことをお勧めします。 私たちの分析では、回路は内部抵抗が非常に低い発電機によって電力が供給されており、その出力には何も負荷がかかっていないと暗黙のうちに仮定しました。 実際、信号ソースには常に何らかの内部抵抗 R1 があり、それがアクティブな場合は、それを R に追加するだけで済みます。同様に、負荷に静電容量 Cn がある場合は、それを C に追加するだけで済みます。アクティブ抵抗 RH がある場合、モジュール K はすでに最低周波数にあり、静電容量の影響は無視でき、XNUMX 未満になり、(オームの法則に従って単純に考えます) RH / (R + RH) になります。 。 カットオフ周波数も、上で説明した方法で簡単に計算できるため、より高く、より多くシフトしますが、
ここで、R'はRとRnを並列に接続して得られる抵抗です。 ここでは、提示された情報を実際に適用した例を示します。 TV のビデオアンプは 6 MHz の周波数帯域を通過する必要があり、トランジスタ C の出力容量、取り付け容量 C、および受像管の制御グリッドの電極間容量 Sk で構成される容量性負荷で動作します (図２９、ａ）。 それらの合計は、静電容量計 (もちろん、テレビはオフにしてください!) または参照データによって推定できます。 それを 29 pF にします。これが検討中の RC チェーンの容量になります。 回路の抵抗Rは、トランジスタ（信号発生器）の内部抵抗と負荷抵抗Rnを並列接続したものです。 25 つ目は、動作コレクタ電圧 Uk 付近で小さな増分 ΔUk をとり、対応する電流増分 ΔIk を見つけることによって、トランジスタのコレクタ特性から求めることができます。
通常、内部抵抗は負荷抵抗よりもはるかに大きいため、R = Rn と仮定できます。 許容負荷抵抗は、0,7 MHz の周波数で最大 3 (6 dB) までの周波数応答の遮断に基づいて求められます。 カットオフの角周波数は次のようになります。
（切り上げする）。 RC = 1 /ωсなので、
当然のことながら、より大きな負荷抵抗を選択すると、ゲインが増加し、トランジスタが消費する電流が減少しますが、ビデオスペクトルの高周波が遮断されるため、これは不可能であり、ビデオスペクトルの損失につながります。画像の鮮明さ。
興味深いので、計算を続けてみましょう。 最大 50 V の振幅を持つ信号がキネスコープ グリッドに印加されるとすると、トランジスタ電流は 50 mA になるはずです。 負荷抵抗でも50 Vが低下し、電源電圧は少なくとも100 Vである必要があり、50 V - 50 mA \u2,5d 29 Wが負荷抵抗で解放されます。 同じ電力がトランジスタでも消費されます。 この場合の負荷特性を図に示します。 XNUMX,b と電圧および電流の図 (テレビでは正弦波になることはほとんどないことに注意してください)。 ここで、キネスコープが制御電極（グリッド）回路を通じて電力を消費しないにもかかわらず、ビデオアンプの出力段が強力なトランジスタで実行され、負荷に強力な抵抗が配置されている理由が明らかになるはずです。 この状況を何とか改善するために、多くの方法が発明されてきました。 それらの 29 つは、負荷と直列の小さなインダクタンスを持つコイル (図 1、a) をオンにして周波数応答を補正することで構成されます。このコイルは、カットオフ周波数またはわずかに高い周波数のどこかで総静電容量 C と共振するように選択されます。 結果として生じる非常に低い品質係数 (1.5 ～ 29 以下) の発振回路は、カットオフ周波数付近の周波数応答の上昇に寄与します。 図上。 図２９において、実線は単純なＲＣ回路の周波数応答に対応する補正前の増幅器の周波数応答を示し、破線はインダクタンスがオンになった後を示す。 このようにして、送信周波数の帯域幅は 1,5 ～ 2 倍に拡張され、カスケードの増幅と効率も同じ量だけ増加します。 上で説明した帯域幅の狭まりは各増幅段で発生するため、多段増幅器を設計する際にはこれを考慮する必要があります。 たとえば、0,84 つの同一のカスケードの場合、それぞれの周波数応答の妨害は 0,842 (0,7 = 0,89) 以下である必要があり、XNUMX つの場合 - XNUMX 以下である必要があります。 時々、特にビデオアンプでは、「小さなトリック」が使用されます。つまり、電極間静電容量と出力電圧振幅の両方が小さい前段が広帯域として設計され、高周波での周波数応答が上昇し、周波数特性が補償されます。出力段の周波数応答の障害。 説明したチェーン (図 28、a を参照) は、周波数特性を考慮するとローパス フィルターと呼ばれ、パルス信号の通過を考慮すると積分とも呼ばれます。 回路の入力にショートエッジの電圧降下が作用するとします (図 30)。 抵抗Rで制限された電流によってコンデンサが充電されるまでには時間がかかるため、出力電圧はすぐには上昇しません。
落下の衝撃後の最初の瞬間のみ、電流はUBX / Rに等しくなります。その後、コンデンサの両端の電圧が増加するにつれて電流は減少します。 出力電圧の微分方程式を作成してそれを解くことにより、次のことが証明できます。
ここで、e は自然対数の底です。 時間 τ = RC の間、出力電圧は入力値の約 0,63 まで増加し、その後漸近的にそれに近づきます。 したがって、積分チェーンは信号の急峻なエッジを「圧倒」しますが、これがテレビ画像の鮮明さの低下の説明になります。 ハイパスフィルター (HPF) に移りましょう。最も単純なもの (微分 RC チェーン) を図に示します。 31、a. 伝達係数は次のように表されます。
チェーンの周波数応答を図に示します。 31b. カットオフ周波数の計算式は変わりません。 位相応答も同じですが、f の符号が変化します。つまり、出力信号の位相が入力の位相より進んでいます。 最低周波数では９０°に近く、高周波数ではゼロに近づきます（図２８ｃのグラフをφ軸に沿って上に９０°シフトするだけで十分です）。 実際、HPF のすべての式は、一般化された周波数 x を -90/x' に置き換えたときの HPF の式から得られます。これは、フィルターを計算するときによく使用されます。 チェーンのインパルス応答を図に示します。 32. これは、いわば、前の電圧の逆です。出力電圧は急激に増加しますが、その後、ビューに従って指数関数的に低下します。チェーンの時定数 t に等しい時間にわたって、それは、入力値は 0,37 に減少し、次の間隔 t にわたって再び 0,37 に減少します。(ちなみに、これは指数関数を描画するための良い規則です。水平方向の分割ごとに、曲線の垂直座標は同じ割合で増加または減少する必要があります) ）。 RC チェーンを分割するほとんどすべての段間は HPF として説明されています。 明示的な抵抗 R がない場合でも、それは結合コンデンサの後ろに接続されたカスケードの入力抵抗です。 カスケードの出力における寄生容量がハイパスフィルターを形成することも考慮すると、増幅カスケードが送信周波数の帯域幅を下からと上からの両方で制限することが明らかになります。バンドパスフィルター。 増幅段を通過する方形パルスの場合、急峻な前面が平滑化され (LPF 動作)、上部が崩れます (HPF 動作)。 RC 回路のフィルタ効果を高めるために、RC 回路のいくつかが順番にオンになり、次の回路の分路を排除するために、トランジスタの中間増幅段によって分離されます。 場合によっては、同じ目的のために、後続のチェーンが大きな抵抗を持って選択されることがあります。 ただし、いずれの場合でも、カットオフ周波数の領域におけるフィルターの周波数応答は非常に平坦です。 アクティブフィルターを使用すると、増幅素子 (トランジスタ) 自体がフィルター素子として機能する状況を修正できます。 図上。 図３３は、アクティブローパスフィルタ（Ｓａｌｌｅｎａ−Ｋｅｙ）の図である。 その中のアクティブ要素はユニティゲインを持っていなければならず、信号を反転させてはなりません。 さらに、高入力インピーダンスと低出力インピーダンスが必要です。 これらの要件は、トランジスタのエミッタ (ソース) フォロワ、または反転入力が出力に接続された (より良い) オペアンプによって満たされます。 通常、抵抗は同じ抵抗値で選択され、コンデンサ C33 の静電容量は C2 の静電容量の 2 ～ 2,5 倍になります。 フィルターのカットオフ周波数
フィルターはこんな感じで動作します。 RC 回路のカットオフ周波数より低い周波数では、出力電圧は実質的に入力電圧を繰り返し、コンデンサ C1 の両プレートが同じ電位になるため、コンデンサ C2 は動作しなくなります。 信号は減衰せずに伝送されます。 周波数が上昇すると、RC1 回路が動作し、出力電圧が低下します。 その後、RCXNUMX 回路も動作し、出力信号をさらに減衰させます。 その結果、カットオフ周波数を超えると周波数応答が急激に低下します。 静電容量 C1 と C2 の比を変更することにより、通過帯域内で滑らかで単調に下降する周波数応答 (バターワース フィルター) を得ることができ、カットオフ周波数の前にある程度の上昇を形成することもできます (チェビシェフ フィルター)。 このような上昇を形成したら (図 1 の曲線 34)、別のパッシブ リンクを追加することをお勧めします (曲線 2)。これにより、上昇が補償され、カットオフ周波数の後の周波数応答の傾きがさらに急になります (曲線 3)。 ) - |K| 周波数が8倍になると18分の35に減少します。 結果は、オクターブあたり 3 dB のスロープを持つ XNUMX 次フィルターになります。 例として、図に示します。 図３５は、３ｋＨｚのカットオフ周波数を有するそのようなローパスフィルタの図を示す。 すべての静電容量の値を周波数に反比例して変更することで、フィルターを他の周波数に簡単に調整できます。 抵抗とコンデンサを交換し、それに応じて定格を変更すると、同様の特性を持つ HPF が得られます。 フィルタの次数について: リアクティブ フィルタ要素の数によって決まり、周波数応答の傾きは次数によって異なります。 したがって、28 次リンク (図 31、a および 2、a) は、周波数の 6 倍の変化 (33 dB / oct.) により信号を 4 倍減衰させます。12 次フィルター (図 35) - 8 倍 (18 dB / oct.)、XNUMX 次フィルター (図 XNUMX) - XNUMX 倍 (XNUMX dB / oct.)。
セルフテストの質問。 一部の高品質 (帯域 20 Hz ～ 20 kHz) 3H アンプの入力インピーダンスは 100 kΩ で、信号源の出力インピーダンスは同じです。 これらは 100 pF/m の線形静電容量を持つシールド ケーブルで接続されています。 ケーブル長は3,2mで、アンプ入力には0,01μFの絶縁コンデンサが内蔵されています。 すべてが正しく行われていますか?実際の周波数帯域はどうなるでしょうか?状況を修正するには何をすべきでしょうか? 答え。 内部抵抗 r の信号源 G63、静電容量 C1 のケーブル、結合コンデンサ C1、アンプの入力インピーダンス R2 を含む等価回路 (図 1) を描いてみましょう。
高周波は、入力抵抗 R1 と信号源 r の内部抵抗が並列に接続されたケーブルの静電容量によって減衰されます。 高周波における絶縁コンデンサ C2 の抵抗は無視できるため、無視できます。 100 つの 50 kΩ 抵抗を並列接続すると、合計値は 1 kΩ になります。 ケーブルC100の静電容量は3,2pF/m×320m==1pFです。 式 fc= 2/XNUMXπRC を使用して、帯域幅の上限周波数を決定します。 f B = 1/6,28 320 10-12-50・103 = 104 Hz =10kHz。 20 kHz に増やすには、ケーブルを半分に短くするか、線形容量が半分のケーブルを選択するか、信号源の出力インピーダンスを約 30 kΩ に下げて、ケーブルに並列に接続される合計抵抗が小さくなるようにする必要があります。は 50 ではなく 25 kΩ です。 後者の方法は、アンプの入力電圧も増加するため、推奨されます。 実際、信号源とアンプの抵抗が等しい場合、それは信号源のEMFの半分であり、信号源の抵抗が30 kΩに減少すると、信号源のEMFの75%に達します。 このため、長い接続ケーブルで動作する信号源の出力には、出力インピーダンスの低いカソード、エミッタ、またはソースフォロアが設置されることがよくあります。 次に、通過帯域の下限カットオフ周波数を計算してみましょう。 これは、絶縁コンデンサ C2 (0,01 μF) と、直列に接続された信号源とアンプ入力の合計抵抗 (r + R1 = 100 + 100 = 200 kOhm) によって決まります。 同じ式を使用して、この RC チェーン (HPF) のカットオフ周波数を計算します。 fH = 1/2πRC = 1/6,28 2 105・10-8 = 80Hz。 カットオフ周波数を 20 Hz に下げるには、絶縁コンデンサの容量を少なくとも 4 倍に増やす必要があります。 最も近い標準静電容量値は 0,047uF です。 上記の推奨に従って、信号源の出力インピーダンス r が 30 kΩ に低減される場合、HPF チェーンの合計抵抗は r + R1 = 30 + 100 = 130 kΩ となり、HPF チェーンの必要な静電容量は次のようになります。絶縁コンデンサは次のようになります。 C \ u1d2/1πfHR\u6,28d20 / 1,3 10 XNUMX-XNUMX5=0,07uF。 著者: V.Polyakov、モスクワ
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