ブール数学の基礎。スキーム、説明

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ブール数学の基礎。無線エレクトロニクスと電気工学の百科事典

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組み合わせデバイスとデジタル論理回路の解析は、真 (論理 1) と偽 (論理 0) の 0 つの概念だけで動作するブール演算を使用して最も簡単に実行できます。その結果、情報を表示する関数は常に 1 または 0 の値しか取りません. このような関数は論理関数と呼ばれます. 複数の変数 (X1、X1、...、Xn-XNUMX) の論理関数 Y は、論理演算の性質を決定します。その結果、変数 Y は一連の入力変数に割り当てられます。

Y=f(X0, X1, ..., Xn-1)。

変換関数は、入力変数 X の各組み合わせが変数 Y の値に対応する行のテーブルによって最も明確に特徴付けられます。これは、真理値表と呼ばれます。

X1	X2	*Y=X1X2**
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

主な論理関数は、論理乗算 (結合)、論理加算 (論理和)、および論理否定 (反転) です。論理積では、入力変数 (1 つ以上) が AND 結合によって結合されます。この操作は、/\ または乗算記号 (*) で表されます。関数 Y1=X2*X1 は、すべての入力変数が 1 に等しい場合にのみ論理 0 の値を取ります。少なくとも 0 つの変数が 1 に等しい場合、出力関数は XNUMX に等しくなります (表 XNUMX)。

論理和では、XNUMX つ以上のステートメントが結合 OR (OR) によって結合されます。この演算は \/ 記号または追加記号 (+) で表されます。論理和の真理値表は次のようになります。

X1	X2	*Y=X1X2**
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

ステートメント (X1 + X2) は、それに含まれるステートメントの少なくとも XNUMX つが真である場合に真です。

論理否定の場合、関数は NOT (NOT) となり、出力関数の値は入力変数の逆になります (表 3)。この操作は X (「NOT X」と読みます) で示されます。

X	Y=-X
0	1
1	0

結合、論理和、および反転は、ステートメントに対するその他のより複雑な操作を表現できます。したがって、関数系 Y1=X1*X2、Y2=X1+X2、Y3=-X は機能的完全性を持ちます。例として、コンピューター技術の要素を使用して実装されたいくつかの機能を考えてみましょう。等価（または同等）とは、1 つの引数 X2 および X1 の関数 Y であり、X1=X2=1 または X1=X2=0 の場合に値 =1 をとります。引数 X2≠X0 の値が異なる場合、関数の値 Y=1。関数 Y の形式は Y=X2*X1+(-X2)*(-X1) であることがわかり、これは引数の対応する値を式に代入することで確認できます。不等価性は、2 つの引数 X1 と X1 の関数 Y であり、X2≠X0 の場合は値 1 をとり、X2=X0=1 の場合は値 2 をとります。 X1=X1=2の場合。この場合、Y=X1*X2+X2*X1 となります。不等号の演算は、多くの場合、加算法 2 と呼ばれ、Y=X1(+)X2 で表されます。 1 つの機能のみで構成され、機能的に完全なシステムもあります。これらには、特に、デジタルデバイスのモデリングで広く使用されている AND-NOT 関数 (Y= -(X2*X1) および OR-NOT (Y=-(X2+XXNUMX))) が含まれます。 XXNUMXとXXNUMX。

X1	X2	*Y=-(X1X2)**	Y=-(X1+X2)
0	0	1	1
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	0	0

ブール演算を使用すると、複雑なステートメントを記述する数式を変換して単純化できます。これは最終的に、複雑な機能を実装する特定のデジタルデバイスの最適な構造を決定するのに役立ちます。最適な構造の下では、その構成に含まれる要素の数が最小限であるデバイスの構造を理解するのが通例です。

作者: -=GiG=-, gig@sibmail; 出版物: cxem.net

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